北航金融计量学第五章

1第五章一元时间序列的分析方法及应用2主要内容5.1时间序列分析方法的特点与平稳性的提出5.2重要的时间序列5.3时间序列的平稳性检验5.4一元时间序列分析方法的应用35.1时间序列分析方法的特点与平稳性的提出所谓时间序列，就是各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间次序排列起来的统计数据。一元时间序列分析方法的基本原理是在解释一个变量的变化或预测其未来时，不再使用一组与之有相关关系的其他变量组成回归模型，而是依据变量本身的变化规律，让变量自身的过去值及误差项来解释。时间序列分析分析模型分为确定性时间序列分析模型和随机时间序列分析模型两大类。4确定性时间序列分析模型主要通过简单的外推技术，如移动平均、指数平滑等进行预测，不反映时间序列的随机性质。随机时间序列分析模型将时间序列数据看作一个随时间变化的随机变量在不同时点取值的结果。如对一个具体的时间序列X1，X2，…，XT，可将其看作某个随机变量Xt在t＝1，2，…，T的一个可能结果或实现。利用随机过程的一个实现去推断该随机过程的统计特征，并用于未来的预测。5平稳时间序列1对于任意t，（常数）2方差（常数）3任何两个时期之间的协方差只依赖于该两时期之间的距离。tEX22varttXXEXcov,()ttkttkXXEXXk6若一时间序列变量Xt平稳，其一个样本为X1，X2，…，XT，T为序列的样本容量，则其主要统计特性的计算方法分别为：（1）期望值（2）方差（3）协方差11ˆTttXXT2211ˆ()TttXXT11ˆ()()()TttktkXXXXT7考虑时间序列数据的平稳性，主要有两个原因：1只有序列平稳，才可把根据数据推测出来的关于序列的统计特征应用于对序列未来时期变化的预测，从而为预测奠定有效的基础。2“虚假回归”现象：即使两个序列互相独立，在经济意义上无任何相关关系，但若两个序列非平稳，则用传统的回归方法及显著性检验时，仍可能会显示出两者在统计上有较高的相关关系。85.2重要的时间序列5.2.1白噪声过程对于随机过程{t}，如果期望为零，方差为固定值，且不同时点之间的协方差为0，则称{t}为白噪声。白噪声是其他各类时间序列的重要组成部分。95.2.2一阶自回归过程AR(1)：Xt=Φ1Xt-1+t，其中，t为白噪声，E(t)=0,var(t)=12212121:11()0,var()11cov(,)1ttkttkEXXXX可以证明时，210若能确定,即随机过程Xt是平稳的AR(1)过程时,可直接用最小二乘法,求出系数Φ1的估计值,并且可以应用传统的t检验或F检验.AR(1)过程可扩展为p阶自回归过程,记为AR(p).模型表示为:Xt=Φ1Xt-1+Φ2Xt-2+…+ΦpXt-p+t11115.2.3趋势平稳过程许多时间序列数据，特别是宏观经济数据，常常显示出明显的时间趋势，如GNP大致随时间递增，这种趋势特征可归结为技术进步、劳动力及其素质的增长等。非平稳过程22,{}()()(),var()tttttttXtEe=0,vare=EXtX其中，为白噪声，且12可见,序列的期望值是时间t的函数。根据定义,序列为非平稳时间序列。之所以称之为趋势平稳，是因为模型中Xt减掉趋势项+t后，是一个平稳过程。可以证明该模型满足经典回归假设，用普通最小二乘法对参数和进行回归及检验都是有效的或渐进有效的。135.2.4随机游走过程非平稳过程可见,随机游走过程的方差随时间推移而变得越来越大。2211)var()var(0)(}{,,2,1,tXXEtXXttttttttt为白噪声其中，14含位移项的随机游走过程102()var()tttttXXEXXtXttttXtX1同时含趋势项和位移项的随机游走过程15趋势平稳过程及带位移项的随机游走过程，期望值都是时间t的函数，即序列的走势都包含了确定的时间趋势。其背后的统计意义和经济意义不同：对于趋势平稳过程，t时刻的干扰项只对序列值Xt产生影响；对于随机游走过程，则序列值Xt除受t时刻的干扰项t影响之外，前期的干扰项都对其发生作用。165.2.5单位根过程非平稳过程单位根过程只要求干扰项为一平稳过程，不要求不同时点的协方差为0。随机游走过程是单位根过程的一个特例。单位根过程经过一阶差分后，为平稳序列，即单位根过程为一阶单整。如果一个序列在成为稳定序列之前必须经过d次差分，则该序列被称为d阶单整。1,1,2,,{}E,cov(,),1,2,ttttttttkkXXutuuuuuk2其中，为一平稳过程且()=0,var()=17[金融相关点5-1]经济周期与冲击的持久性185.3时间序列的平稳性检验5.3.1利用自相关函数及相关图进行平稳性检验自相关函数（ACF,autocorrelationfunctions）反映序列两个相邻数据点之间存在多大程度的相关性。间隔k期的数据点之间的相关系数，称为k阶自相关系数,记为kttkkttkCovXXVarXVarX,19往往表现为k=1时对应的一阶样本自相关函数比较高，然后随着k的增加而下降。211ˆ()()/()nknkttktttxxxxxx样本的自相关函数(ACF)：k为第k个自相关系数。显然1k并且任意过程的0阶自相关系数0=120以k为横坐标、为纵坐标，描绘出对阶数k的关系图形，称为样本相关图。往往表现为k=1时对应的一阶样本自相关函数比较高，然后随着k的增加，下降。ˆkˆk1ˆˆk21对于p阶自回归过程，当k≤p时，偏相关系数不为0；当kp时，偏相关系数为0，即截尾特征。前回归系数的估计值。用最小二乘法求出的kttktkktktktXXXXX,2211偏自相关函数(PartialAutocorrelationFunction,PACF)：22检验时间序列是否平稳的简单办法是考察样本自相关函数的变化。平稳时间序列的样本自相关函数随着阶数的增加而迅速下降为0，非平稳时间序列的自相关函数则衰减得十分缓慢。可以证明，如果总体Xt服从标准正态分布，则k阶自相关函数的样本估计近似服从均值为0，方差为1/T的正态分布，T为时间序列的样本容量。23Box-Pierce-Q统计量，或Ljung-Box统计量，可以证明，这两个统计量均近似服从于自由度为k的2分布。21ˆkkiiQT21ˆ(2)kikiQTTTi24Q检验统计量可以检验某一时间序列其1至k阶的自相关函数是否同时为0的联合假设，即零假设：备选假设为中至少有一个显著不为零。这一方法可用于对白噪声过程的近似检验。由于白噪声过程的任意阶自相关函数为0，为此可以设定一较大的滞后阶数，如k=20，按公式计算出统计量若计算出的统计量大于显著性水平为自由度为20的分布的临界值，即拒绝原假设，意味着对应的序列不是白噪声过程，反之，则接受原假设。12ˆˆˆ0k212ˆˆˆ0k12ˆˆˆ0k2020QQ或2020QQ或25许多计量经济软件在给出自相关函数和Q统计量之外，还会给出偏自相关函数PACF，可以加以利用来辅助判断自回归阶数。与自相关函数的样本估计的分布相同，在自回归过程阶数为p的假设条件下，p+1以及更高阶偏自相关函数估计量（kp）近似的服从均值为0，方差为1/T的正态分布。kˆˆkk26[实证案例5-1]上证A股指数的自相关函数及自相关图275.3.2时间序列平稳性的单位根检验（unitroottest）问题的提出迪克－福勒方法（DF检验）增广的迪克－福勒方法（ADF检验）菲利普斯－配荣方法（PP检验）总结28问题的提出时间序列平稳性检验的重要性对于一阶自回归过程=1：随机游走过程，非平稳；||1：平稳序列需要对单位根假设作检验对于具有明显时间趋势的序列，要判断是由趋势平稳过程，还是含位移项的随机游走过程产生此时传统的t检验不再适用，需要采用新的检验方法。tttXX11:0H29迪克(Dickey)－福勒(Fuller)方法（DF检验）情况一真实的数据产生过程：回归模型：其中是白噪声过程（非平稳）（平稳）1,,ttttXX其中干扰项为白噪声过程TtXXttt,,3,2,1,1t1:0H1:1H30迪克－福勒方法（DF检验）统计量：DF的统计量＝DF的统计量＝其中：T为样本容量，和是用OLS得到的的估计值及其标准差。注：当零假设为真时，最小二乘估计和t统计量有非标准和非对称的极限分布，此时的t统计量不是通常意义下的t分布，而是服从下述渐近分布)1ˆ(Tˆ/)1ˆ(ˆ102122))(()1)1((21drrWWtTˆˆ311976年迪克和福勒模拟计算了DF统计量的临界值，见附表5（统计量）和6（统计量）判断规则：DF统计量相应临界值，接受，序列非平稳；DF统计量相应临界值，拒绝，序列平稳。0H0H若DF检验表明序列非平稳，且至少为一阶单整，则进一步对序列的一阶差分序列重复以上的检验过程。32迪克－福勒方法（DF检验）实际应用回归式可写成其中此时：DF统计量：和（Eviews软件中给出的检验统计量）实证案例：上证指数的DF检验在情况一下分别对水平序列和一阶差分序列进行检验注：Eviews软件中给出的临界值称为麦金农临界值（Mackinnoncriticalvalue），是麦金农教授用模拟方法计算所得。tttXX11tttXXX0:0H0:1HˆTˆ/ˆ33迪克－福勒方法（DF检验）情况二真实的数据产生过程：回归模型：DF统计量计算方法与判断规则与情况1相同，临界值见相应附表。TtXXttt,,3,2,1,1tttXX11:0H1:1H34迪克－福勒方法（DF检验）对于联合假设，可用OLS计算F统计量其中和分别为有约束的和无约束的残差平方和，此时对应的临界值不是标准的F分布表，也是极限分布的模拟计算值，见附表7。判断：若大于临界值，则拒绝零假设，序列平稳。在Eviews软件中给出F统计量及其p值。0,1:0H0,1:1H)2/(ˆ2/)ˆ~(222TRRRF2~R2ˆR35迪克－福勒方法（DF检验）与情况一类似，回归模型也可变为此时假设变为F检验的联合假设DF统计量也相应地变化。实例tttXX10:0H0:1H0,0:0H0,0:1H36迪克－福勒方法（DF检验）情况三真实的数据产生过程：回归模型：假设：F检验的联合假设：与前两种情况类似，回归模型可变为零假设和DF统计量也发生相应变化。实例0;1tttXXTttXXttt,,3,2,1,11:0H1:1H0,1:0H0,1:0HttttXX137增广的迪克－福勒检验(ADF检验)原理：在上述DF检验的三种情况中，假定干扰项为白噪声，无序列相关；如果放松这一假设，允许其序列相关，在原DF方法中加入滞后的自回归项，可消除模型中可能存在的序列相关给估计值带来的有偏的影响，即为ADF检验。38增广的迪克－福勒检验(ADF检验)情况一回归模型：假设：统计量＝统计量＝临界值分布见附表，判断规则同DF检验。tptpttttXXXXX221111:0H1:1HpTˆˆˆ1)