复变函数期末试卷及答案

复变函数与积分变换第1页共6页华南农业大学期末考试试卷（A卷）2007－08学年第1学期考试科目：复变函数与积分变换考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四五六七八总分得分评阅人一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．下列复数中，位于第三象限的复数是（）A.12iB.12iC.12iD.12i2．下列等式中，不成立的等式是（）4.34arctan3Ai的主辐角为.arg(3)arg()Bii2.rg(34)2arg(34)Caii2.||Dzzz3．下列命题中，正确．．的是（）A.1z表示圆的内部B.Re()0z表示上半平面C.0arg4z表示角形区域D.Im()0z表示上半平面4．关于0limzzzz下列命题正确的是（）A.0B.不存在C.1D.15．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（）.zAze2sin.1zBz.tanzCze.sinzDze6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（）A.cosz是有界函数B.22LnzLnz.cossinizCeziz2.||Dzz7．在下列复数中，使得3zei成立的是（）复变函数与积分变换第2页共6页.ln223iAzi.ln423iBzi.ln226Czi.ln426Dzi8．已知31zi，则下列正确的是（）312.2iAze364.2iBze7312.2iCze63.2iDze9．积分||342zdzz的值为（）A.8iB.2C.2iD.4i10．设C为正向圆周||4z,则10()zCedzzi等于（）A.110!B.210!iC.29!iD.29!i11．以下关于级数的命题不正确的是（）A.级数0327nni是绝对收敛的B.级数212(1)nninn是收敛的C.在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0z是函数(1cos)zezz的（）A.可去奇点B.一级极点C.二级极点D.三级极点13．1(2)zz在点z处的留数为（）A.0.1BC.12D.1214．设C为正向圆周1||z,则积分sinzcedzz等于（）A．2πB．2πiC．0D．－2π15．已知()[()]FftF，则下列命题正确的是（）A.2[(2)]()jfteFFB.21()[(2)]jeftFFC.[(2)]2(2)ftFFD.2[()](2)jteftFF复变函数与积分变换第3页共6页二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16.设121,13zizi，求12zz____________.17.已知22()()()fzbxyxiaxyy在复平面上可导，则ab_________.18.设函数)(zf=0coszttdt，则)(zf等于____________.19.幂极数nn2n1(2)zn的收敛半径为_______.20.设3z，则映射在01zi处的旋转角为____________，伸缩率为____________.20.设函数2()sinfttt，则()ft的拉氏变换等于____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）21．设C为从原点到3－4i的直线段，计算积分[()2]CIxyxyidz22.设2()coszefzzzi.(1)求)(zf的解析区域，（2）求).(zf复变函数与积分变换第4页共6页24．已知22(,)4uxyxyx，求一解析函数()(,)(,)fzuxyivxy，并使(0)3f。23.将函数1()(1)(2)fzzz在点0z处展开为洛朗级数.25.计算2||3(1)()(4)zdzzziz.复变函数与积分变换第5页共6页四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）25.计算201.54cosd26.求分式线性映射()fz，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件(2)0fi，arg(0)1f.27.求函数2,10(),010,tfttt其它的傅氏变换。复变函数与积分变换第6页共6页28．用拉氏变换求解方程()(),(0)1.tytytey其中复变函数与积分变换期末试卷答案一、选择题复变函数与积分变换第7页共6页1．B.2.C.3.A4.D5.B6.D7.A8.C9.B10.D11.B12.D13.C14.A15.B二、填空题16．cossin66zi,17.1,18.3(1)zzzee,19.1,20.13(31)4i三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）21．设C为从原点到2＋3i的直线段，计算积分[(2)]CIxyixydz解：设曲线C的参数方程为:(23)01.Czitt120[(2)](266)(23)CIxyixydztttiidt1223100(46)(23)(23)(22)|ttiidtitti102.i22.设2()cos4zefzzz.(1)求)(zf的解析区域，（2）求).(zf解：(1)由方程240z得2z，故)(zf的解析区域为\{2,2}C.(2)222(42)()sin.(4)zezzfzzz23.将函数1()(1)(2)fzzz在点0z处展开为泰勒级数.解：11111()(1)(2)(2)(1)(1)2(1)2fzzzzzzz100001222nnnnnnnnnzzzz||1.z复变函数与积分变换第8页共6页24.将函数112()(1)zefzz在圆环0|1|z内展开成洛朗级数.解：ze的泰勒展式为0!nznzen，故11ze的罗朗展式为11011!nznzen，所以11222001111().(1)(1)!!(1)nznnnezfzzznnz四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）25．已知22(,)2uzyxyx，求一解析函数()(,)(,)fzuxyivxy，并使(0)2fi。解：由柯西－黎曼方程得2,vuyxy所以0(,)2()2().xvxyydxCyxyCy2()22,vuxCyxyx所以0()()2.yCyCydxCyC所以(,)22.vxyxyyC从而2()2(22).fzxyxxyyCi又(0)2.fCii所以2.C所以2()2(222).fzxyxxyyi26.计算2||2(1)(1)(3)zdzzzz.解：由柯西积分定理得原式2112|1||1|2211(1)(3)(1)(3)(1)(1)zzzzzzdzdzzz复变函数与积分变换第9页共6页21111(1)(3)(1)(3)zzzzzz2212211.(1)(3)1616zzzz27.求函数1,10()1,010,tftt其它的傅氏变换。解：0110()()itititFftedtedtedt011011ititiieeeeiiii24cos.i28．求函数()cos3ftt的拉氏变换解：33000()()cos32ititstststeeFsftedtetdtedt(3)(3)001122ististedtedt2111.2339ssisis