在高考中数学表格题分类解析

在高考中数学表格题分类解析近年来,涉及表格类的试题经常出现在全国各地的高考和模拟试题中,它们不仅情境新颖,而且与生活实际联系紧密，充分体现了表格的工具性和数学的适用性。这类问题主要考查学生能否根据所学知识在新情景中吸收、处理信息的能力和分析、解决问题的能力。本文结合实例对表格在高中数学试题中的应用作一些分析和归纳，期望对广大读者有所帮助。一、在题设中直接以表格反映条件例1下表给出了x与x10的七组对应值：组号一二三四五六七x0.301030.477110.698970.778150.903091.000001.07918x10235681012假设上表数据中,有且仅有一组是错误的,它是第________组。思路：由上表可知第六组一定正确，由此判断第一、三组都是正确的（因为它们不可能全错）由第一组正确得到第五组也正确，剩下第二、四、七组必有一组错的，若第二组正确，推出第四、七组都是错的，因此第二组是错的。评注：这是一题以指对数互化和对数的运算法则为背景的表格信息题，要求要能根据表中信息找到突破口，进行推理和假设，作出正确判断。此类问题对考查学生的逻辑思维能力能起到很好的作用。例2二次函数xcbxaxy(2∈R)的部分对应值如下表：则不等式ax2+bx+c0的解集是________________思路一：由表格可知，原函数图象过三点（－1，－4）、（0，－6）、（1，－6），由4112cba①,6002cba②6112cba③，解得6,1,1cba，∴不等式ax2+bx+c0的解集是｛x|x-2或x3｝思路二：由表格可知，方程02cbxax的两根为3,2，再由函数值的变化规律可知二次函数图象开口向上，∴不等式ax2+bx+c0的解集是｛x|x-2或x3｝。评注：上述两种解法都是合理选用了表格中的信息，分别从函数与方程，数形结合两方面处理了问题。特别是思路二，不需要计算就能得到答案，如果信息选择不当，会导致运算相对繁琐。例3)(tfy是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中240t.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1x-3-2-101234y60-4-6-6-406经长期观观察，函数)(tfy的图象可以近似地看成函数)sin(tAky的图象，在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数（）（A）]24,0[,6sin312tty（B）]24,0[),6sin(312tty（C）]24,0[,12sin312tty（D）]24,0[),212sin(312tty思路一：考虑到是选择题，可用赋值验证法，令0t，排除答案D，再令3t，排除答案B、C，得到答案A思路二：考虑到函数xAkysin的图象特征，两个相邻深度最大值对应的时间差可看成函数xAkysin的一个周期，得到该函数的一个周期为12，从而排除答案A、D，再赋3t检验，即可得到答案A。评注：这是一个提供数据，寻求“近似”解析式的问题，关键是把握好近似的度，正面解决有困难时，可根据表格信息，借助图象特征，合理筛选，间接的将问题处理。例4在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内奎屯王新敞新疆年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱毫米）110115120125130135（）145舒张压（水银柱毫米）707375788083（）88思路：从表格反映的信息来看，收缩压随着年龄的增长构成一个以110为首项，5为公差的等差数列，第一个应填140，舒张压随着年龄的增长，奇数项构成一个以70为首项，5为公差的等差数列，偶数项构成一个以73为首项，5为公差的等差数列，第二个应填85。评注：这是一个以医学知识作为背景，考察等差数列的表格题，读者要能跟据所学知识将一组数据信息化归为一个数列问题。例5某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是()(A)计算机行业好于化工行业.(B)建筑行业好于物流行业.(C)机械行业最紧张.(D)营销行业比贸易行业紧张.思路：根据题意，某行业的就业形势由该行业的招聘人数应聘人数来决定，比值越小，就业形势越好。因计算机行业的应聘人数与招聘人数比值为行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数1246201029358911576516704367043065280124620215830化工行业的比值，可排除A，又因建筑行业的比值70430652807651665280物流行业的比值，故选B。评注：本题是以统计为背景的表格应用题。不仅要看到表中的信息，而且要能发现隐含信息，如应聘人数统计表中的物流、贸易在招聘人数表中没有出现，说明其排在前5名之后，同样招聘人数统表中的建筑、化工两行也业的应聘人数也排在前5名之后，如若发现不了上述信息，本题做起来就会有困难。二、在解决问题的过程中使用表格例6旅馆里住着6位旅客，他们分别来自：北京（B）、天津（T）、上海（S）、扬州（Y）、南京（N）、和杭州（H），他们分别姓赵、钱、孙、李、周和吴，他们的职业各不相同，还知道：（1）老赵和北京人都是医生，老周和天津人都是教师，老孙和上海人都是工程师；（2）扬州人和老钱、老吴都是退伍军人，而上海人从未参过军；（3）南京人和扬州人都比老赵岁数大，杭州人比老钱的岁数大，老吴最年轻；（4）老钱和北京人一起去扬州，老孙和南京人要去广州。试根据条件确定每位旅客的籍贯。思路：本题是一道典型的逻辑推理题，由于每位旅客的姓名和籍贯是一一对应的，我们不妨编制表格来帮助分析。BTSYNH赵××××××前×××××孙×××××李×××××周×××××吴×××××根据条件（1）：老赵不是北京人，老周不是天津人，老孙不是上海人，再根据职业不同可判断：老周和老孙都不是北京人，老赵和老周都不是上海人，老赵和老孙都不是天津人，在表中相应的空格打上“×”表示不可能，根据条件（2）：可划去钱（Y）、吴（Y）、钱（S）、吴（S），根据条件（3）：可划去赵（N）、赵（Y）、钱（H）、吴（N）、吴（H），根据条件（4）：划去钱（B）、孙（N）、钱（N）。最后再观察表上空格，可判断老赵是杭州人，老钱是天津人，就可划去李（T）、孙（H）和吴（T），同理，可判断老李是上海人，就可划去李（B）、李（N）、李（Y）、李（T）、李（H），依此类推，不难得到正确的结论。所以，老赵是杭州人，老钱是天津人，老孙是扬州人，老周是南京人，老吴是北京人。评注：制表是解决类似逻辑推理题的有效途径之一，能真正反映数学解题过程是对信息的获取、处理、输出过程。例7某工厂生产甲，乙两种产品。已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t;生产乙种产品需耗A种矿石4吨、B种矿石4t、煤9吨，每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360t,B种矿石不超过200t,煤不超过300t,甲乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润种额达到最大？思路：由于条件较多，为了使条件更加清晰且具有条理性，可采用列表反映条件：消耗量产品甲产品乙产品资源限额资源（1t）（1t）(t)A种矿石（t）104300B种矿石（t）54200C种矿石（t）49360利润6001000设生产甲乙两种产品分别为xt,yt,利润总额为z元，那么003609420045300410yxyxyxyx目标函数.1000600yxz作出可行域，借助线性规划的内容得到；当tytx4.34,4.12时能使利润达到最大。评注：线性规划问题中的条件的反映在很多时候往往可列表，通过表格来理清解题思路和方向。例8已知函数)(xf的导数为xxxf44)(3'，且图象过定点（0，－5），求函数)(xf的单调区间及极值。思路：利用题中已知),('xf可直接求单调区间及导数为0的点，但无法求出极值，要求极值，须求出)(xf的解析式。由xxxf44)(3',可设mxxxf242)(，由,5,5)0(mf52)(24xxxf。令,0)('xf即得0443xx，解得1,0,1321xxx，列表讨论：x(－,1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,+)'y－0＋0－0＋y↓－6↑－5↓－6↑由表可知，函数在（－,－1）和（0，1）上单调递减，在（－1，0）和（1，+）上单调递增，在1x处有极小值－6，在0x处有极大值－5。评注：在画函数的图象，研究一元高次函数单调性，极值和最值时，经常会采用列表的方法去处理。通过以上各例可以看出，表格类试题内容主要涉及逻辑初步、函数与导数、数列、线性规划、概率与统计等方面，处理这类问题关键是应根据表中数据信息实施转化与化归，使它们对应于数学中的数、形、式，并辅助计算、推理、假设、验证等方法去求解；同时由于表格是信息的良好载体，能集中给出解题信息，给人的感觉直观通俗，在解题时应注意使用。随着高考“深化数学理性思维”的要求，用表格作为信息源和处理手段的新试题，将是高考试题新的生长点，正确求解这类题既是高考取胜的需要，也是新课程标准下素质教育的内在要求。