函数周期性教案

在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟.电话：0838—23056222309322地址：德阳市旌阳区文庙广场1号2栋32号1函数周期性教案一，函数周期性1，函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期,2.最小正周期的概念：对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。对于正弦函数y=sinx,自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。）在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。3.周期函数性质：（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则（Q是有理数集）（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且是无理数，则f(X)不存在最小正周期。（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟.电话：0838—23056222309322地址：德阳市旌阳区文庙广场1号2栋32号24.重要推论1，若有f(x)的2个对称轴x=a,x=b.则T=2|a-b|2，若有f(X）的2个对称中心（a,0）(b,0)则T=2|a-b|3,若有f(x)的1个对称轴x=a,和1个对称中心(b,0)，则T=4|a-b|二，周期函数的性质及题型。利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.（1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（2）函数y=f(x)满足f(x+a)=1()fx，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题2：若a、b(ab)是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1)函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3)函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似.设条件A:定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.条件B:f(x)关于x=a对称条件C:f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.结论:已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明:①已知A、B→C（2001年全国高考第22题第二问）∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟.电话：0838—23056222309322地址：德阳市旌阳区文庙广场1号2栋32号3∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期②已知A、C→B∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)关于x=a对称③已知C、B→A∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x)∴f(x)是R上的偶函数由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数，则f(2T)=0基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1.求函数值例1：f(x)是R上的奇函数f(x)=－f(x+4)，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007)的值解：方法一∵f(x)=－f(x+4)∴f(x+8)=－f(x+4)=f(x)∴8是f(x)的一个周期∴f(2007)=f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1方法二∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函数∴f(-x)=f(x+4)∴f(x)关于x=2对称又∵f(x)是奇函数∴8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同.例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009)的值解：由条件知f(x)1，故1()(2)1()fxfxfx1(2)1(4)1(2)()fxfxfxfx类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)=f(251×8+1)=f(1)=22.求函数解析式例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当2,0x时，f(x)=－2x+1，则当4,6x时求f(x)的解析式解：当0,2x时[2,0]x∴f(－x)=2x+1∵f(x)是偶函数∴f(－x)=f(x)∴f(x)=2x+1当4,6x时4[0,2]x∴f(－4+x)=2(－4+x)+1=2x－7又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4故f(-4+x)=f(x)∴当4,6x时求f(x)=2x－73.判断函数的奇偶性在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟.电话：0838—23056222309322地址：德阳市旌阳区文庙广场1号2栋32号4例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=1()fx，f(999+x)=f(999－x)，试判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=1()fx，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999－x)知f(x)关于x=999对称，即f(－x)=f(1998+x)故f(x)=f(－x)f(x)是偶函数4.判断函数的单调性例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当2,0x时，f(x)是减函数，求证当4,6x时f(x)为增函数解：设1246xx则212440xx∵f(x)在[-2，0]上是减函数∴21(4)(4)fxfx又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4故f(x+4)=f(x)∴21()()fxfx∵f(-x)=f(x)∴21()()fxfx故当4,6x时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.解：∵f(x)=-f(6-x)∴f(x)关于（3，0）对称∵f(x)=f(2-x)∴f(x)关于x=1对称∴根据命题2（4）得8是f(x)的一个周期∴f(2000)=f(0)又∵f(a)=-f(2000)∴f(a)=-f(0)又∵f(x)=-f(6-x)∴f(0)=-f(6)∴f(a)=f(6)∵a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调∴a=65.确定方程根的个数例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)=f(4－x)，f(7+x)=f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10故f(x+10)=f(x)∴f(10)=f(0)=0又f(4)=f(0)=0即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2200010=401个根.练习在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟.电话：0838—23056222309322地址：德阳市旌阳区文庙广场1号2栋32号51：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数2..求证:若fxxR为奇函数，则方程fx=0若有根一定为奇数个。3.设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=（）。（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。4..设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)=－21x，则f(8.6)=_________（第八届希望杯高二第一试题）5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=（）(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5