《计算方法》第五章数值积分.

1计算方法华中科技大学数学与统计学院第五章数值积分计算方法课程组2§5数值积分§5.1机械求积公式§5.2Newton_Cotes公式§5.3变步长求积公式及其加速收敛技巧§5.4Gauss公式3§5.1机械求积公式第1节引言第2节数值积分的基本方法第3节代数精度法第4节插值求积法4§5.1.1引言定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算:()()()bafxdxFbFa其中F(x)是f(x)的原函数之一，可用不定积分求得.被积函数f(x)是用函数表格提供;f(x)极为复杂，求不出原函数;大量函数的原函数不容易或根本无法求出.210xedx10sinxdxx2222204()1sinIrxHxdrxr只能运用数值积分,求积分近似值.问题5其中,称为积分节点，称为求积系数。§5.1.2数值积分的基本方法kx()bafxdx就是在区间[a,b]内取n+1个点01,,,nxxx利用被积函数f(x)在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求的定积分.kA0()()nbkkakfxdxAfx6其中,称为积分节点，称为求积系数。§5.1.2数值积分的基本方法kxkA因此，数值积分公式关键在于积分节点的选取和积分系数的决定，其中与被积函数f(x)无关。称为机械求积公式。kAkx0()()nbkkakfxdxAfxkA7求积分10()xxfxdx简单算例8求积分10()xxfxdx此积分的几何意义相当于如图所示的曲边梯形的面积。用f(x)的零次多项式00()()yLxfx来近似代替()fx11000001()(()))(xxxxfxdxfxdxfxxx于是有简单算例解左矩公式91100010110()()2()()2xxxxxxfxdxfdxxxfxx11001110()()()()xxxxfxdxfxdxfxxx推广:右矩公式中矩公式10用f(x)的一次多项式011010110()()()xxxxLxfxfxxxxx来近似代替,()fx于是，1100100101011001110()()1()()))2((()xxxxxxxxxxfxfxdxxxxfxdxxxxfxfxLxdx1()Lx梯形公式推广:11011200010101101()()()()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxLxfxfxxxxxxxxxxxxxfxxxxx来近似代替()fx,于是，11002()()xxxxfxdxLxdx特别地：当011()2xxx有10100101()()()4()()62xxxxxxfxdxfxffx用f(x)的二次插值多项式,推广:Simpson公式12§5.1.3代数精度法为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立.因此定义代数精度的概念:若积分的数值积分公式对于任意多项式都精确成立，但对不精确成立，则称该数值积分公式具m次代数精确度。0()()nbkkakfxdxAfx()(0,1,,)ifxxim()bafxdx1()mfxx13对于[a,b]上线性插值，如图所示有122baAA考察其代数精度。算例:f(x)abf(b)f(a)2()[()()]bbaafxdxfafb)()()(1bfafxLabaxbabx142()[()()]bbaafxdxfafb的代数精度。解：逐次检查公式是否精确成立代入L0=1：baabdx1]11[2ab=代入L1=x：=代入L2=x2：222abbadxx][2baab3233abbadxx][222baab得代数精度=1梯形公式f(x)abf(b)f(a)15试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.02()[(0)()][(0)()]2hIfxdxhffhahffhI算例:16试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.20()[(0)()][(0)()]2hhIfxdxffhahffhI00hIxdx解:222hI322[02]2hIahh0()fxx2Ihh10hIxdx1()fxx22h20hIxdx2()fxx33h31(2)2ah2II112a算例:令174222[03]2hIahh30hIxdx3()fxx44h44h5232[04]2hIahh40hIxdx4()fxx55h56h2()()0,1,2,3jjIxIxj442()()IxIx因此由此得该积分公式具有3次代数精确度.220()[(0)()][(0)()]2hhIfxdxffhahffhI18类似地,可以证明矩形公式具0次代数精度可以证明Simpson公式具3次代数精度.()()()bafxdxfaba()()()4()()62babaabfxdxfaffb19利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:近似计算badxxfI)(§5.1.2插值求积法利用插值多项式,则定积分容易计算。)()(xfxPn在[a,b]上取ax0x1…xnb，做f的n次插值多项式，nkkknxlxfxL0)()()(即得到babaknkkdxxlxfdxxf)()()(020利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:近似计算badxxfI)(§5.1.4插值求积法利用插值多项式,则定积分容易计算。)()(xfxPn在[a,b]上取ax0x1…xnb，做f的n次插值多项式，nkkknxlxfxL0)()()(即得到babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak()()jkjbxxkxxakjAdx由节点决定，与f(x)无关。不同的插值方法有不同的基函数210[]()()nbkkakRffxdxAfx误差:§5.1.4插值求积法-余项(1)0()()(1)!nnbxkakfxxdxn[()()]()bbnnaafxLxdxRxdx(1)01()[]()(1)!()(1)!nnbxkakbNafRfxxdxnMxdxn(1)[,]max()NxabiffxM22§5.1.4插值求积法-余项N+1个节点的求积公式为插值型该求积公式至少有N次代数精度.23由插值余项定理得,插值型求积公式的余项为式中与变量有关,.§5.1.4插值求积法-余项n+1个节点的求积公式为插值型该求积公式至少有n次代数精度.(1)()[]()(1)!nbnafRfIIxdxnx01()()()()nxxxxxxx按此余项公式，对于次数不超过的多项式，余项等于零，求积公式至少具有次代数精度。n[]Rf()fxn24反之,若求积公式至少具有次代数精度，则必定是插值型的。因为求积公式对次多项式是精确成立的:§5.1.4插值求积法-余项n+1个节点的求积公式为插值型该求积公式至少有n次代数精度.nnknjjkjbakAxlAdxxl0)()(Return25§5.2Newton-Cotes公式第1节公式的一般形式第2节低阶公式及其余项第3节复合求积公式26第1节Newton-Cotes数值求积公式Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式()[,]fxCab,0,1,,kxakhknbahn各节点为设函数将积分区间[a,b]分割为n等份为步长f(x)的Lagrange的插值多项式及余项分别为270()()()nnkkkLxfxlx(1)1()()()(1)!nnnfRxxn[,]ab10()()nniixxx其中0()jkjnkjjkxxlxxx而()()()nnfxLxRx因此对于定积分()()baIffxdx[()()]bnnaLxRxdx有()()baIffxdx280()()nbkkakfxlxdx()bnaRxdx0()nkkkAfx()bnaRxdx令0()()nnkkkIfAfx()()bnnaRIRxdx()baIfxdx()()()nnIfIfRI即有()bkkaAlxdx0bjajnkjjkxxdxxxn阶Newton-Cotes求积公式Newton-Cotes公式的余项(误差)()()nIfIf其中29()bkkaAlxdx0bjajnkjjkxxdxxxkA注意是等距节点xath[,]xab由[0,]tn可知kA0bjajnkjjkxxdxxx00()()njnjktjhhdtkjh00(1)()!()!nknjnjkhtjdtknk计算:假设3000(1)()()!()!nknjnjkbatjdtnknk()()ˆnkkAbaC0()()nnkkkIfAfx()0()()nnkkkbaCfx所以Newton-Cotes公式化为()nkC使用n次Lagrange插值多项式的Newton-Cotes公式至少具有n次代数精度,并且n为偶数时至少具有n+1次代数精度,试以n=1,2,4为例说明该结果。为Cotes系数31第二节低阶Newton-Cotes公式及其余项在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也最重要三个公式,称为低阶公式1.梯形(trapezoid)公式及其余项011,,,nxaxbhba取有dtt10)1()1(0CCotes系数为21dtt10)1(1C21求积公式为32)(1fI10)1()()(kkkxfCab)]()([210xfxfab)]()([2bfafab)(1fI即上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为-0.500.511.500.511.522.533.544.5)]()([2)(bfafab)(1fIT梯形公式的余项为)()(1IRTRbadxxR)(133()[,,]()()baRTfxabxaxbdx[,,]()()[,]bafabxaxbdxab积分第二中值定理33()()()()2612fbabaf(1)101()()()(1)![,,...,]()nnnnnfRxxnfxxxx2312)(|)(|MabTR|)(|max],[2xfMbax梯形(trapezia)公式具有次代数精度。故()()()[,]2bafxaxbdxab均差性质134设在区间[a,b]上函数f(x)连续，而函数(x)可积且不变号，则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使()()()()(,)bbaafxxdxfxdxab积分第二中值定理：均差性质：(1)011()[,,...,]()()(1)!nxnnnffxxxxxn0minmaxξξkkffxxxxxk()()[,,...,],(,)!=?352.Simpson公式及其余项0122,,,,22babanxaxxbh取有Cotes系数为dtttC20)2(0)2)(1(4161dtttC20)2(1)2(2164