2011版高三数学一轮精品复习学案第八章_平面解析几何(8.2直线与圆)WU

2011版高三数学一轮精品复习学案：第八章平面解析几何第二节直线与圆【考纲知识梳理】一、圆的方程1．圆的定义（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。（2）确定一个圆的要素是圆心和半径。2．圆的方程圆的标准方程圆的一般方程方程222()()(0)xaybrr220xyDxEyF圆心坐标（a,b）,22DF半径r22142DEF注：方程220xyDxEyF表示圆的充要条件是2240DEF3．点与圆的位置关系已知圆的方程为222()()xaybr，点00(,)Mxy。则：（1）点在圆上：22200()()xaybr；（2）点在圆外：22200()()xaybr；（3）点在圆内：22200()()xaybr。4．确定圆的方程方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组；（3）解出a,b,r或D、E、F代入标准方程或一般方程。注：用待定系数法求圆的方程时，如何根据已知条件选择圆的方程？（当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般方程，通过解三元方程组求相应系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆弦长等条件，适合用标准方程。对于有些题，设哪种形式都可以，这就要求根据条件具体问题具体分析。）二、直线、圆的位置关系1．直线与圆的位置关系位置关系相离相切相交公共点个数0个1个2个几何特征（圆心到直线的距离d，半径r）drdrdr代数特征（直线与圆的方程组成的方程组）无实数解有两组相同实数解有两组不同实数解注：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆台上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解。2．圆与圆的位置关系位置关系外离外切相交内切内含公共点个数01210几何特征（圆心距d，两圆半径R，r，Rr）dRrdRrRrdRrdRrdRr代数特征（两个圆的方程组成的方程组）无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解【热点难点精析】一、圆的方程（一）圆的方程的求法※相关链接※1．确定圆的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a,b）和半径r.2．如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法。设所求圆的方程为：22220(40),xyDxEyFDEF由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D、E、F的值。3．以为直径的两端点的圆的方程为1212()()()()0xxxxyyyy注：在求圆的方程时，常用到圆的以下必修性质：（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；（2）圆心在任一弦的中垂直上；（3）两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点共线。※例题解析※〖例〗求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为27的圆的方程。（二）与圆有关的最值问题※相关链接※1．求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化。如（1）形如m=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题；（3）形如m=的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题。2．特别要记住下面两个代数式的几何意义：表示点(x,y)与原点（0，0）连线的直线斜率，表示点（x,y）与原点的距离。※例题解析※〖例〗已知实数x、y满足方程22410xyx。（1）求yx的最大值和最小值；（2）求y-x的最大值和最小值；（3）求22xy的最大值和最小值。思路解析：化x，y满足的关系为22(2)3xy理解yx，y-x，22xy的几何意义根据几何意义分别求之。（三）与圆有关的轨迹问题※相关链接※1．解决轨迹问题，应注意以下几点：（1）求方程前必须建立平面直角坐标系（若题目中有点的坐标，就无需建系），否则曲线就不可转化为方程。（2）一般地，设点时，将动点坐标设为（x,y），其他与此相关的点设为00(,)xy等。（3）求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形。2．求轨迹方程的一般步骤：（1）建系：设动点坐标为（x,y）；（2）列出几何等式；（3）用坐标表示得到方程；（4）化简方程；（5）除去不合题意的点，作答。※例题解析※〖例〗设定点M（-3，4），动点N在圆224xy上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。思路解析：先设出P点、N点坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标，代入圆的方程可求。解答：如图所示，二、直线、圆的位置关系（一）直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系的判定有两种方法（1）第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组，转化为一元二次方程，再利用判别式⊿来讨论位置关系，即⊿0直线与圆相交;⊿=0直线与圆相切;⊿0直线与圆相离.（2）第二种方法是几何的观点，即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断，即dr直线与圆相交；dr直线与圆相切；d=r直线与圆相离。※例题解析※〖例〗已知圆22262(1)102240().xymxmymmmR（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线上；（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。思路解析：用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长。（二）圆与圆的位置关系※相关链接※1．判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法；2．若两圆相交，则两圆公式弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,xy项即可得到；3．两圆公切线的条数（如下图）O2O1O2O1O2O1O2O1O2O1（1）两圆内含时，公切线条数为0；（2）两圆内切时，公切线条数为1；（3）两圆相交时，公切线条数为2；（4）两圆外切时，公切线条数为3；（5）两圆相离时，公切线条数为4。因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位置关系。※例题解析※〖例〗求经过两圆22(3)13xy和22(3)37xy的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆思路解析：根据已知，可通过解方程组2222(3)13(3)37xyxy得圆上两点，由圆心在直线x－y－4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为2222(3)13((3)37)0xyxy，再由圆心在直线x－y－4=0上，定出参数λ，得圆方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（三）圆的切线及弦长问题※相关链接※1．求圆的切线的方法（1）求圆的切线方程一般有两种方法：①代数法：设切线方程为与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式⊿=0进而求得k。②几何法：设切线方程为利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k。两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选。注：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x轴的切线，即斜率不存在时的情况。（2）若点00(,)Mxy在圆222xyr上，则M点的圆的切线方程为200xxyyr。2．圆的弦长的求法（1）几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则。（2）代数法：设直线与圆相交于1122(,),(,)AxyBxy两点，解方程组22200()()ykxbxxyyr消y后得关于x的一元二次方程，从而求得1212,,,xxxx则弦长为221212||(1)[()4]()ABkxxxxk为直线斜率。【感悟高考真题】1．8.直线3ykx与圆22324xy相交于M,N两点，若23MN，则k的取值范围是A.304，B.304，，C.3333，D.203，【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.29、动点,Axy在圆221xy上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间0t时，点A的坐标是13(,)22，则当012t时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是A、0,1B、1,7C、7,12D、0,1和7,123．（2010全国卷2文数）（16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，4AB，若3OMON，则两圆圆心的距离MN。4．设平面直角坐标系xoy中，设二次函数22fxxxbxR的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：（Ⅰ）求实数b的取值范围；（Ⅱ）求圆C的方程；（Ⅲ）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．一、选择题1．直线10axy与圆2211xy相切，则a的值为（）A0B.1C.2D.12．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为（）A.(x＋1)2＋y2＝1B.x2＋y2＝1C.x2＋(y＋1)2＝1D.x2＋(y－1)2＝13．已知圆122yx与x轴的两个交点为A、B，若圆内的动点P使||PA、||PO、||PB成等比数列，则PBPA的取值范围为--------------（）（A）10,2B）1,02（C）1(,0)2（D）[1,0)4．已知,ACBD为圆22:4Oxy的两条互相垂直的弦，,ACBD交于点1,2M，则四边形ABCD面积的最大值为-----（）A4B5C6D75．直线x+y+1=0与圆2122yx的位置关系是（）A.相交B.相离C相切D.不能确定答案：C提示：圆心rd22101,0,1，6．两圆32cos3cos42sin3sinxxyy与的位置关系是（）A．内切B．外切C．相离D．内含7．已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k0）上一动点，PA、PB是圆C：2220xyy的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A．3B．212C．22D．2答案：D8．经过圆:C22(1)(2)4xy的圆心且斜率为1的直线方程为（）A30xyB．30xyC.10xyD．30xy9．已知圆的方程为22680xyxy，设圆中过点(2,5)的最长弦与最短弦分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（）(A)1B0(C)1(D)210．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线0443yx相切，则圆的方程是（）A．0422xyxB．0422xyxC．03222