(讲案练案考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.8

讲案2.8二次函数课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.二次函数的解析式(1)一般式：f(x)＝____________________________.(2)顶点式：f(x)＝____________________________.(3)零点式：f(x)＝____________________________.注：求解析式都是用待定系数法．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质：定义域为__________．单调性与值域：当a＞0时，值域为__________，单调增区间为__________，单调减区间为__________；当a＜0时，值域为__________，单调增区间为____________，单调减区间为__________．奇偶性：函数为偶函数⇔__________.图象：二次函数的图象是__________．对称轴方程是__________．当a＞0时，图象开口__________；当a＜0时，图象开口__________．当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有__________交点，两个交点间的距离为Δ|a|.当Δ＜0时，若a＞0，则函数的值__________；若a＜0，则函数的值__________．当Δ＝0时，图象与x轴____________．3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，(a≠0)在区间[p，q]上的最值问题．一般情况下，需要分__________，__________和__________三种情况讨论解决．4．二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0的区间根问题．一般情况下，需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x＝－b2a与区间端点的关系．设x1、x2是实系数二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则x1、x2的分布范围与二次方程系数之间的关系，填写下表.根的分布图象充要条件x1＜x2＜k__________k＜x1＜x2__________x1＜k＜x2__________x1、x2∈(k1，k2)__________x1，x2有且仅有一个在(k1，k2)内__________导读校对：1.(1)ax2＋bx＋c，(a≠0)(2)a(x＋k)2＋h，(a≠0)(3)a(x－x1)·(x－x2)，(a≠0)2.R4ac－b24a，＋∞－b2a，＋∞－∞，－b2a－∞，4ac－b24a－∞，－b2a－b2a，＋∞b＝0一条抛物线x＝－b2a向上向下两个恒正恒负只有一个公共点3.－b2a＜pp≤－b2a≤q－b2a＞q4.Δ＞0fk＞0－b2a＜kΔ＞0fk＞0－b2a＞kf(k)＜0Δ≥0fk1＞0fk2＞0k1＜－b2a＜k2f(k1)·f(k2)＜0或f(k1)＝0，k1＜－b2a＜k1＋k22或f(k2)＝0，k1＋k22＜－b2a＜k2基础热身1.已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a＞0)，若x1＜x2，x1＋x2＝0，则()A．f(x1)＜f(x2)B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)＞f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定解法一：(作差比较)：f(x1)－f(x2)＝ax21＋2ax1－ax22－2ax2＝a(x21－x22)＋2a(x1－x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2＋2)．∵x1＋x2＝0，x1＜x2，a＞0，∴x1－x2＜0，x1＋x2＋2＝2＞0，∴a(x1－x2)(x1＋x2＋2)＝2a(x1－x2)＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．解法二：(利用数形结合)：∵x1＜x2，x1＋x2＝0，∴x1＜0，x2＞0.又∵a＞0，∴函数f(x)的图象开口向上，且对称轴为x＝－1.∵|x1－(－1)|＝|x1＋1|＜|x2－(－1)|＝|x2＋1|，∴f(x1)＜f(x2)．答案：A2．已知[1,3]是函数y＝－x2＋4ax的单调递减区间，则实数a的取值范围是()A.－∞，12B．(－∞，1]C.12，32D.32，＋∞解析：对称轴x＝2a≤1，∴a≤12.答案：A3．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝－x2－x－1B．f(x)＝－x2＋x－1C．f(x)＝x2－x－1D．f(x)＝x2－x＋1解析：由f(0)＝1，可设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，故f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b，由已知：f(x＋1)－f(x)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x∴2a＝2a＋b＝0∴a＝1b＝－1∴f(x)＝x2－x＋1.答案：D4．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1、x2，则x1＋x2等于()A．0B．3C．6D．不能确定解析：由f(3＋x)＝f(3－x)知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，应有x1＋x22＝3⇒x1＋x2＝6.答案：C5．(2010·安徽卷)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()解析：由A，C，D知，f(0)＝c＜0.∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－b2a＞0，知A、C错误，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－b2a＜0，B错误．答案：D6．已知函数f(x)＝x2－kx＋5在区间(1,2)上是增函数，那么f(2)的取值范围是__________．解析：由函数f(x)＝x2－kx＋5在区间(1,2)上是增函数知，其图象开口向上，对称轴为x＝k2，则对称轴x＝k2应与直线x＝1重合，或在其左侧，于是有k2≤1，即k≤2.而f(2)＝9－2k(k≤2)，问题等价于求一次函数g(k)＝9－2k(k≤2)的值域．∴9－2k≥5.故f(2)的取值范围为[5，＋∞)．答案：[5，＋∞).思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.若二次项的系数含有字母参数，必须对二次项系数是否为零进行分类讨论，否则容易造成丢解．2．二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要掌握熟练，特别是含参数的两类“定轴动区间、定区间动轴”解法是：抓住“三点一轴”数形结合，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．如求y＝x2－tx＋1在(－∞，1]上的最小值.互动探究题型1求二次函数的解析式例1.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．【解法一】利用二次函数一般式．设f(x)＝ax2＋bx＋c，(a≠0)，由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8.解得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.【解法二】利用二次函数顶点式．设f(x)＝a(x－m)2＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋－12＝12.∴m＝12，又根据题意函数有最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝ax－122＋8.∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1.解得a＝－4.∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.【解法三】利用双根式．由已知，f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8.即4a－2a－1－a24a＝8，∴a＝0(舍)或a＝－4.∴f(x)＝－4x2＋4x＋7.题型2二次函数在闭区间上的最值例2.求二次函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值．【解析】须分三种情形分别求解：对称轴x＝1在区间[t，t＋1]的左侧，内部及右侧．f(x)＝(x－1)2＋2，f(t)＝t2－2t＋3，f(t＋1)＝t2＋2.当t＞1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，故此时f(x)max＝f(t＋1)＝t2＋2，f(x)min＝f(t)＝t2－2t＋3；当0≤t≤1时，f(x)在[t，t＋1]上的最小值为f(1)＝2，而其最大值为f(t)与f(t＋1)中较大一个．当0≤t≤12时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t＋3；当12＜t≤1时，f(x)max＝f(t＋1)＝t2＋2；当t＜0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋2，f(x)max＝f(t)＝t2－2t＋3.题型3“三个二次”关系的综合应用例3.已知f(x)＝－3x2＋(6－a)ax＋b.(1)若不等式f(x)＞0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值；(2)若方程f(x)＝0有一根小于1，另一根大于1，当b＞－6且b为常数时，求实数a的取值范围．【解析】(1)由题意知方程－3x2＋a(6－a)x＋b＝0的二根为1和2则1＋2＝a6－a31×2＝－b3⇒a＝3b＝－6(2)∵－3＜0，由图象知，只需f(1)＞0便可．∴－3＋a(6－a)＋b＞0⇔a2－6a＋3－b＜0⇔3－b＋6＜a＜3＋b＋6.错解辨析例4.已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围．【错解】当m＜0时，抛物线y＝f(x)的开口向下，故它与x轴的两交点必在坐标原点的两侧，即m＜0符合题设要求．当m＞0时，抛物线开口向上，由题意有Δ＝m－32－4m≥0，－b2a＝3－m2m＞0，解得0＜m≤1.综上知，m的范围是m＜0或0＜m≤1.【错因】原条件没有说明函数f(x)是二次函数，所以二次项系数m有可能为0.错误原因是没有考虑m＝0的情况是否满足题意．【正解】①当m＝0时，f(x)＝－3x＋1和x轴有交点13，0，适合题意；②当m≠0时，Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9＝(m－9)(m－1)≥0，∴m≥9或m≤1，且m≠0.(ⅰ)当m＜0时，∵f(0)＝1，∴此时f(x)与x轴交点必有一个在原点右侧．(ⅱ)当0＜m≤1或m≥9时，可以从反面考虑，与x轴右侧无交点，则对称轴x＝3－m2m≤0，解得m≥3或m＜0，∴若与x轴右侧有交点，则0＜m＜3，∴0＜m≤1.由①②可知m的取值范围为(－∞，1].