函数的基本性质练习题

第1页（共29页）函数的基本性质练习题2一．选择题（共14小题）1．集合{x|x＞0且x≠2}用区间表示出来（）A．（0，2）B．（0，+∞）C．（0，2）∪（2，+∞）D．（2，+∞）2．设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3）3．若函数f（x）=x2+a|x|+2，x∈R在区间[3，+∞）和[﹣2，﹣1]上均为增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，﹣3]B．[﹣6，﹣4]C．[﹣3，﹣2]D．[﹣4，﹣3]4．函数f（x）=的单调增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1），（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）5．下列函数中，在区间（0，1）上是递增函数的是（）A．y=|x+1|B．y=3﹣xC．y=D．y=﹣x2+46．函数f（x）=|x|和g（x）=x（2﹣x）的递增区间依次是（）A．（﹣∞，0]，（﹣∞，1]B．（﹣∞，0]，[1，+∞）C．[0，+∞），（﹣∞，1]D．[0，+∞），[1，+∞）7．下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），都有＜0”的是（）A．f（x）=lnxB．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=D．f（x）=x38．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=B．y=﹣x+C．y=﹣x|x|D．y=9．已知函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，则以下结论正确的是（）A．函数|f（x）|为偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递增B．函数|f（x）|为奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递增C．函数f（|x|）为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增D．函数f（|x|）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增10．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣xB．y=x3C．y=lnxD．y=|x|11．已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，0）C．（0，2）D．（﹣2，0）第2页（共29页）12．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．13．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2B．1C．0D．214．函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数二．填空题（共3小题）15．（1）{x|x＞2}的区间形式为（2）{x|x≤﹣5}的区间形式为（3）{x|x＜0或x＞6}区间形式为．16．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．17．已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣）是奇函数，给出以下四个命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③函数f（x）是偶函数；④函数f（x）在R上是单调函数．在上述四个命题中，正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）三．解答题（共23小题）18．设f（x）=|x﹣a|﹣+a，x∈[1，6]，a∈（1，6）．（Ⅰ）若a∈（1，2]，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）的最小值．19．已知函数，（Ⅰ）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．第3页（共29页）20．已知函数f﹙x﹚=x3﹣3x．（1）求函数f﹙x﹚的单调区间；（2）求函数f﹙x﹚在区间[﹣3，2]上的最值．21．设函数f（x）=x3+，x∈[0，1]，证明：（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2（Ⅱ）＜f（x）≤．22．设常数a∈R，函数f（x）=（a﹣x）|x|．（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）是奇函数，且关于x的不等式mx2+m＞f[f（x）]对所有的x∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．23．已知函数f（x）=﹣2．（1）求f（x）的定义域；（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．24．设f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，．（1）求f（2）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解关于x的不等式．第4页（共29页）25．已知函数f（x）=2+的图象经过点（2，3），a为常数．（1）求a的值和函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（a，+∞）上是减函数．26．函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．（Ⅲ）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．27．二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．28．已知函数f（x）=x2+2ax+3，x∈[﹣4，6]（1）当a=﹣2时，求f（x）的最值．（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣4，6]上是单调函数．（3）当a=1时，求f（|x|）的单调区间．29．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）=1，（1）求证：f（1）=0；（2）求f（）；（3）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤1．第5页（共29页）30．已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f（2x2﹣1）＜2．31．定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）是区间（0，+∞）上的递增函数（1）求f（1），f（﹣1）的值；（2）求证：f（﹣x）=f（x）；（3）解关于x的不等式：．32．已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）﹣f（x）=2x．（1）求f（x）；（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．33．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．34．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值．（2）函数y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，求实数a的范围．第6页（共29页）35．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．36．已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x﹣2）．（1）求f（﹣1），f（2.5）的值；（2）写出f（x）在[﹣3，3]上的表达式，并讨论函数f（x）在[﹣3，3]上的单调性；（3）求出f（x）在[﹣3，3]上的最小值和最大值，并求出相应的自变量的取值．37．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x﹣1）=f（3﹣x），且方程f（x）=2x有两等根．（1）求f（x）的解析式．（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．38．函数f（x）=x2﹣4x﹣4在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t）．（1）试写出g（t）的函数表达式．（2）作出g（t）的图象并求出g（t）的最小值．39．已知f（x）=x2﹣ax+4．（1）若f（x）≥0在[，4]上恒成立，求a的取值范围；（2）若方程f（x）=3在[，4]上有两个解，求a的取值范围．40．函数f（x）=2x2﹣2ax+3在区间[﹣1，1]上最小值记为g（a）．（1）求g（a）的函数表达式；（2）求g（a）的最大值．第7页（共29页）函数的基本性质练习题2参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2014秋•内蒙古校级月考）集合{x|x＞0且x≠2}用区间表示出来（）A．（0，2）B．（0，+∞）C．（0，2）∪（2，+∞）D．（2，+∞）【分析】给出的集合是大于0且不等于2的所有实数构成的，只要写出两个开区间的并集即可．【解答】解：集合{x|x＞0且x≠2}用区间表示为：（0，2）∪（2，+∞）．故选C．【点评】本题考查了区间与无穷的概念，考查了集合与区间的等价转换，是基础题．2．（2005秋•扬州期末）设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3）【分析】由集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，∴A∩B={x|﹣4＜x≤2}，故选B．【点评】本题考查交集及其去运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．3．（2016•安庆三模）若函数f（x）=x2+a|x|+2，x∈R在区间[3，+∞）和[﹣2，﹣1]上均为增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，﹣3]B．[﹣6，﹣4]C．[﹣3，﹣2]D．[﹣4，﹣3]【分析】由函数f（x）为R上的偶函数知，只需考察f（x）在（0，+∞）上的单调性，在[3，+∞）上为增函数，在[1，2]上为减函数，则只需函数y=x2+ax+2的对称轴，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：f（x）=x2+a|x|+2，∵f（﹣x）=（﹣x）2+a|﹣x|+2=x2+a|x|+2=f（x），∴f（x）为实数集上的偶函数，由f（x）=x2+a|x|+2在区间[3，+∞）和[﹣2，﹣1]上均为增函数，知f（x）在[3，+∞）上为增函数，在[1，2]上为减函数，∴函数y=x2+ax+2（x＞0）的对称轴，得a∈[﹣6，﹣4]．故选：B．【点评】本题考查函数单调性及其奇偶性的性质，考查函数单调区间的求法，是中档题．4．（2017春•汇川区校级期中）函数f（x）=的单调增区间是（）第8页（共29页）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1），（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）【分析】分离常数可以得到，从而根据反比例函数的单调性便可得出f（x）的单调增区间．【解答】解：；∴f（x）的图象是由y=的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到；而y=的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）；∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，1），（1，+∞）．故选C．【点评】考查分离常数法的运用，增函数及增区间的定义，反比例函数的单调性，以及函数图象的平移变换．5．（2016春•淇县校级月考）下列函数中，在区间（0，1）上是递增函数的是（）A．y=|x+1|B．y=3﹣xC．y=D．y=﹣x2+4【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数的单调性即可找出正确选项．【解答】解：A．x∈（0，1）时，y=|x+1|=x+1，∴该函数在（0，1）上是递增函数，；所以该选项正确B．y=3﹣x是一次函数，在（0，1）上是递减函数，所以该选项错误；C．y=是反比例函数，在（0，1）上是递减函数，所以该选项错误；D．y=﹣x2+4是二次函数，在（0，1）上是递减函数，所以该选项错误．故选A．【点评】考查含绝对值函数，一次函数，反比例函数，二次函数的单