2013年数学竞赛讲义(几何)――叶中豪

2013年高中平面几何第1页（共10页）高中平面几何(叶中豪)知识要点：（一）四点共圆及其应用（二）垂足三角形与等角共轭例题和习题：1．已知：自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD，自C作PA的平行线，分别交AB、AD于E、F。求证：CE＝EF。FECABODP2．A为圆O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别与圆O相切于C、D，DE⊥AO于E，DE分别交AB、AC于F、G。求证：DF＝FG。GFECDOAB2013年高中平面几何第2页（共10页）3．P为圆外一点，PA、PD为切线，PCE为割线。过D作PA的平行线，分别与AC延长线及线段AE交于B、F。求证：D为BF中点。FBCDAOPE4．在△ABC中，AB≠AC，I是内心，直线AI与△ABC的外接圆交于D。过D作DP⊥AD交BC于P，△ABC的B-旁切圆切AC于E，C-旁切圆切AB于F。求证：EF∥PI。EFPDIABC2013年高中平面几何第3页（共10页）5．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的圆与圆O交于P，作NQ⊥LM于Q。求证：∠MPQ＝2∠NMQ。（98年伊朗竞赛）PQLONKM6．已知Rt△ABD∽Rt△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM垂线交AD于F。求证：DE＝EF。EFMCABD2013年高中平面几何第4页（共10页）7．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，点A关于点D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。求证：AP∥BC。PGFEDABC8．△ABC中，E、F是AC、AB边上任意两点，圆ABE和圆ACF交于D点，M、N分别是BC、EF中点，MN延长交AB于L。求证：∠BLM＝∠CAD。LNMDABCEF2013年高中平面几何第5页（共10页）9．已知P、Q是等腰△ABC（AB＝AC）内两点，满足∠ABP＝∠QCB，∠ACP＝∠QBC。求证：A、P、Q三点共线。QBCPA10．已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高，BB'⊥EF于B'，CC'⊥EF于C'。求证：B'C'＝DE＋DF。HC'B'FEDABC2013年高中平面几何第6页（共10页）11．一点P在△ABC三边BC、CA、AB上射影分别为S1、S2、S3，在三条高AD、BE、CF上射影分别为T1、T2、T3。求证：S1T1、S2T2、S3T3三线共点。T3T2T1S3S2S1FEDABCP12．设P是△ABC内一点，∠APB－∠ACB＝∠APC－∠ABC。又设D、E分别是△APB及△APC的内心。求证：AP、BD、CE共点。（第37届IMO）EDABCP2013年高中平面几何第7页（共10页）13．已知，D是△ABC底边BC上任意一点，P是形内一点，满足∠1＝∠2，∠3＝∠4。求证：PBABPCAC=。4321PABCD14．已知：P是四边形ABCD内的一点，满足∠1＝∠2，∠3＝∠4。求证：PB＝PD的充要条件是ABCD内接于圆。2143PABDC2013年高中平面几何第8页（共10页）15．已知E、F是圆内接四边形ABCD对边AB、CD的中点，M是EF的中点，自E分别作BC、AD的垂线，垂足记为P、Q。求证：MP＝MQ。MQPFEABCD16．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。求证：DM⊥BC。DFEMABC2013年高中平面几何第9页（共10页）17．AD为△ABC内角平分线，I1、I2为△ABD、△ACD的内心，以I1I2为底向BC边作等腰△EI1I2，使得∠I1EI2＝12∠BAC。求证：DE⊥BC。EI1I2DABC18．已知：D是△ABC的BC中垂线上一点，I1、I2是△ABD、△ACD的内心，E是△ABC外接圆弧BAC的中点。求证：A、E、I1、I2四点共圆。I1I2EABCD2013年高中平面几何第10页（共10页）19．平面上有四个点A1，A2，A3，A4，其中任意三个点都不在一条直线上。并且它们满足A1A2×A3A4＝A1A3×A2A4＝A1A4×A2A3。对于任意｛i，j，k，l｝＝｛1，2，3，4｝，设Oi为△AjAkAl的外心。若对于1≤i≤4均有Ai≠Oi，求证：四条直线AiOi平行或共点。O2O1O3O4A4A1A2A3