量子力学考研核心题库

一、填空题1．描述微观粒子运动状态的量子数有_____;具有相同n的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。【答案】2．力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____.【答案】厄米；实数【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.3．（1）自由粒子被限制在x和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理.如果没有给出其他资料，则粒子在x和x+1/3之间的概率是_____.A.025B.033C.011D.067（2）上题中，按照量子力学.处于最低能态的粒子在x和x+1/3之间被找到的概率是_____.A.019B.072C.033D.050【答案】（1）B【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为（2）A【解析】取x为原点，则有波函数为所求概率即4．不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。【答案】波粒二象性5．一维谐振子升、降算符、a的对易关系式为_____;粒子数算符N与、a的关系是;哈密顿量H用N或、a表示的式子是_____；N（亦即H）的归一化本征态为_____。【答案】6．—粒子的波函数为写出粒子位于间的几率的表达式_____。【答案】二、选择题7．__________。【答案】8．设粒子处于态为归一化波函数为归一化的球谐函数，则系数的取值为_____的可能值为_____的平均值为_____。【答案】9．（1）_____；（2）_____。【答案】10．下面关于厄米算符的定义式中.正确的为（）.【答案】A【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数.厄米算符定义式为11．量子谐振子的能量是（）.【答案】A【解析】由于谐振子的哈密顿算符为而本征值为n，于是谐振子能量为第4页，共47页12．设粒子处于态为归一化的球谐函数，则的平均值为（）。【答案】B三、简答题13．请用泡利矩阵定义电子的自旋算符，并验证它们满足角动量对易关系。【答案】电子的自旋算符其中，14．斯特恩—革拉赫实验证明了什么？【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。（2）空间量子化的事实。（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。15．写出测不准关系，并简要说明其物理含义。【答案】测不准关系物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同时有确定的测值。16．自发辐射和受激辐射的区别是什么？【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；受激辐射是处于激发能级的原子被一个频率为的光子照射，受激发而跃迀到较低能级同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机的。17．写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。【答案】第5页，共47页18．自旋可以在坐标表象中表示吗？【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。19．归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为如果对整个空间积分等于1，则对整个空间积分也等于1。即用任意相因子去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的归一化。20．写出电子在外电磁场中的哈密顿量。【答案】四、计算题21．已知厄米算符.满足且求：（1）在A表象中算符的矩阵表示。（2）在B表象中算符的本征值和本征函数。（3）从A表象到B表象的么正变换矩阵S。【答案】（1）由于所以算符的本征值是因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A表象中算符的矩阵是利用得：由于所以：则有：由于是厄米算符，所以：则有：令其中为任意实常数，得在A表象中的矩阵表示式为：第6页，共47页（2）类似地，可求出在B表象中算符的矩阵表示为：在B表象中算符的本征方程为：即则有：α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即则可得：对有：对有：所以，在B表象中算符的本征值是，本征函数为：和-（3）类似地，在A表象中算符的本征值是本征函数为：从A表象到B表象的么正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即：22．考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或反对称的。空间部分波函数是反对称时对应总的自旋平方本征值为空间部分波函数对称时对应总的自旋平方本征值为0。假设两电子系统哈密顿量为分别针对空间部分波函数是反对称和对称两种情形，求体系的能量。（提示：单电子自旋角动量平方算符的本征值为）。【答案】利用可知，空间部分波函数反对称时：对应能量：空间部分波函数对称时：对应能量：23．已知氢原子在t=0时如下处于状态：其中，为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率与平均值，写出t＞0时的波函数。第7页，共47页【答案】已知氢原子的本征值为：将t=0时的波函数写成矩阵形式：利用归一化条件：于是，归一化后的波函数为：能量的可能取值为相应的取值几率为：能量平均值为：自旋z分量的可能取值为相应的取值几率为：自旋z分量的平均值为：f0时的波函数为：24．设一维粒子的HamiltonianH，坐标算符为x.利用利用能量本征态的完全性关系，将用和E.，表出，其中是能量本征值为E.，的本征矢。【答案】利用可得于是即第8页，共47页25．（1）写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学方程；（2）考虑由2个全同费米子（）组成的体系，设可能的单粒子态为试用表示出体系可能的状态。【答案】（1）全同粒子系的波函数：对称性波函数；反对称性波函数。其随时间演化的动力学方程：（2）用表示出体系可能的状态如下：26．设已知在，的共同表象中，算符的矩阵分别为试在取值为的本征态下求的可能取值和相应的概率及的平均值.【答案】可能取得的值有设的本征态矢为则由可以解得同理由可以解得时态矢为概率为态矢为概率为平均值为27．粒子在一维无限深势阱中运动.设该体系受到的微扰作用。（1）利用微扰理论求第n能级的准至二级的近似表达式.（2）指出所得结果的适用条件.【答案】（1）一维无限深方势阱：体系的零级近似波函数和零级近似能量求到二级，矩阵元一般形式则第n能级的二级近似能量第9页，共47页（2）结果适用的条件是：即28．设质量为m的粒子处于势场中，K为非零常数.在动量表象中求与能量E对应的本征波函数【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而也属于正幂次级数，故有定态方程式中：则I式可以化为：令上方程可化简为式解得则其中C为归一化常数。第10页，共47页量子力学考研核心题库（二）一、填空题1．自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____,自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。【答案】的奇数倍；反对称变换的整数倍；对称变换2．一粒子的波函数则粒子位于间的几率为_____。【答案】3．普朗克的量子假说揭示了微观粒子_____特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_____性。【答案】粒子性；波粒二象性【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说爱因斯坦后来将此应用到了光电效应上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的诞生奠定了基础.4．当对体系进行某一力学量的测量时.测量结果一般来说是不确定的.测量结果的不确定性来源于_____.【答案】测量的干扰【解析】当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影响，而这影响将导致体系的波函数发生变化，这最终导致对物理量的测量的不确定性.5．总散射截面Q与微分散射截面的关系是_____。【答案】6．费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。【答案】对称性；反对称性二、选择题7．对力学量进行测量.要能得到确定结果的条件是（）A.体系可以处于任一态B.体系必须处于宏观态第11页，共47页C.力学量必须是守恒量D.体系必须处于的本征态【答案】D【解析】若对力学量的测量得到的是确定结果，则要求体系必须处于定态，而处于定态的条件即体系处于力学量对应的本征态.8．一维运动中，哈密顿量【答案】9．量子力学中的力学量用_____算符表示，表示力学量的算符有组成_____的本征函数。【答案】厄密；完全系10．假定角动量平方算符的本征值分别为和如果则可能是本征值的选择为（）【答案】C11．类氢原子问题中，设原子核带正电核为为原子的波尔半径，对处于基态的电子，其出现几率最大的径向坐标位置是（）。A.B.C.D.E.【答案】B12．如果是厄米算符，并且则下列是厄米算符为（）。第12页，共47页【答案】C三、简答题13．什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：14．放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？【答案】与量子隧穿效应有关。15．波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理含义是什么？【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近体积元中粒子出现的几率密度。16．反常塞曼效应的特点，引起的原因。【答案】原因如下：（1）碱金属原子能级偶数分裂；（2）光谱线偶数条；（3）分裂能级间距与能级有关；（4）由于电子具有自旋。17．什么样的状态是定态，其性质是什么？【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变18．以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。【答案】在量子力学中，能量用算符表示，当体系处于某个能量的本征态时，算符对态的作用是得到这一本征值，即当体系处于一般态时，算符对态的作用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即19．如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？【答案】是，其确定值就是在本征态的本征值。第13页，共47页20．坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。【答案】对易关系为测不准关系为四、计算题21．已知分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，为电子的总角动量。（）的共同本征态为证明是的本征态，并就两种情况分别求出其相应的本征值。【答案】22．Q表缘的基矢有两个：算符有如下性质：（1）求Q表象中的本征值和本征函数；（2）已知粒子状态为求测量力学量的可能值及相应的概率和平均值.【答案】（1）先算出该算符在Q表象中的矩阵元.设其本证函数为则有由久期方程解得再代回可得对应本征函数为对应本征函数为（2）粒子的力学量可能取值即其本征值.第14页，共47页由题意时，相应概率为时，相应概率为23．取为试探波函数，应用变分原理估算粒子在势场中的基态能量.以上表达式中均为常数，且【答案】试探波函数利用波函数的归一化从而由可得，代入可得基态能量24．考虑相距2a、带电为e和一e的两个粒子组成的一个电偶极子，再考虑一个质量为m、带电为e的入射粒子，其入射波矢k垂直于偶极子方向，见图求在玻恩近似下的散射振幅，并确定微分散射截面取最大值的方向。图【答案】电偶极子势能为由波恩近似有散射振幅为散射微分截面为【积分未完成】式中此即所求表达式.25．设一维谐振子的初态为即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.（1）求t时刻的波函数（2）求t时刻处于基态及第一激发态的概率.第15页，共47页（3）求演化成所需的最短时间【答案】（1）一维谐振子定态能量和波函数：任意时刻t的波函数可表示为已知t=0时刻的波函数是由得，在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t的波函数可以表示为（2）t时刻处于基态的几率为处于第一激发态的几率（3）