第讲偏导数总结

西南财经大学天府学院偏导数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数西南财经大学天府学院定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为一、偏导数的定义及其计算法西南财经大学天府学院同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.西南财经大学天府学院如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导函数，简称偏导数.记作xz，xf，xz或),(yxfx.同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.西南财经大学天府学院偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处),,(zyxfu),,(zyx,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz西南财经大学天府学院例1求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．解xz;32yxyz.23yx21yxxz,8231221yxyz.72213西南财经大学天府学院例2设yxz)1,0(xx，求证zyzxxzyx2ln1.证xz,1yyxyz,lnxxyyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxx.2z原结论成立．西南财经大学天府学院例3设22arcsinyxxz，求xz，yz.解xzxyxxyxx2222211322222)(||yxyyyx.||22yxy|)|(2yy西南财经大学天府学院yzyyxxyxx222221132222)()(||yxxyyyxyyxx1sgn22)0(y00yxyz不存在．西南财经大学天府学院例4已知理想气体的状态方程RTpV（R为常数），求证：1pTTVVp.证VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRV.1pVRT西南财经大学天府学院偏导数xu是一个整体记号，不能拆分;).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求设例如有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解xxfxx0|0|lim)0,0(00yyfyy0|0|lim)0,0(00西南财经大学天府学院.),()0,0(),(0)0,0(),(),(22的偏导数求设yxfyxyxyxxyyxf例5解,)0,0(),(时当yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx,)()(22222yxxyy22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy,)()(22222yxyxx西南财经大学天府学院,)0,0(),(时当yx按定义可知：xfxffxx)0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0xxyfyffyy)0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0yy,)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222yxyxyxxyyyxfx.)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222yxyxyxyxxyxfy西南财经大学天府学院３、偏导数存在与连续的关系例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，西南财经大学天府学院4、偏导数的几何意义,),()),(,,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM如图西南财经大学天府学院偏导数),(00yxfx就是曲面被平面0yy所截得的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率.几何意义:西南财经大学天府学院偏导数),(00yxfy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率.几何意义:西南财经大学天府学院),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为二阶纯偏导二阶混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二、高阶偏导数西南财经大学天府学院例6设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、22yz及33xz.解xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyx33xz,62yxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx西南财经大学天府学院原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：西南财经大学天府学院例7设byeuaxcos，求二阶偏导数.解,cosbyaexuax;sinbybeyuax,cos222byeaxuax,cos222byebyuax,sin2byabeyxuax.sin2byabexyuax西南财经大学天府学院问题：混合偏导数都相等吗？).0,0(),0,0(),()0,0(),(0)0,0(),(),(223yxxyffyxfyxyxyxyxyxf的二阶混合偏导数求设例8解,)0,0(),(时当yx2223222)(2)(3),(yxyxxyxyxyxfx,)(232224222yxyxyxyx,)(2),(22223223yxyxyxxyxfy西南财经大学天府学院,)0,0(),(时当yx按定义可知：xfxffxx)0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0xxyfyffyy)0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0yyyfyffxxyxy)0,0(),0(lim)0,0(0,0xfxffyyxyx)0,0()0,(lim)0,0(0.1).0,0()0,0(yxxyff显然西南财经大学天府学院定理如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．例9验证函数22ln),(yxyxu满足拉普拉斯方程.02222yuxu问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？解),ln(21ln2222yxyx西南财经大学天府学院,22yxxxu,22yxyyu,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu2222yuxu.02222222222)()(yxyxyxxy证毕．西南财经大学天府学院偏导数的定义偏导数的计算高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导（相等的条件）三、小结偏导数的几何意义(二元函数)西南财经大学天府学院四、作业西南财经大学天府学院若函数),(yxf在点),(000yxP连续，能否断定),(yxf在点),(000yxP的偏导数必定存在？思考题西南财经大学天府学院思考题解答不能.,),(22yxyxf在)0,0(处连续,但)0,0()0,0(yxff不存在.例如,西南财经大学天府学院一、填空题:1、设yxztanln,则xz________;yz_________.2、设xzyxezxy则),(_______;yz________.3、设,zyxu则xu__________;yu__________;zu____________.4、设,arctanxyz则22xz________;22yz_______;yxz2____________.练习题西南财经大学天府学院5、设zyxu)(,则yzu2__________.二、求下列函数的偏导数:1、yxyz)1(；2、zyxu)arctan(.三、曲线4422yyxz,在点(2,4,5)处的切线与正向x轴所成的倾角是多少?四、设xyz,求.,22222yxzyzxz和五、设)ln(xyxz,求yxz23和23yxz.西南财经大学天府学院六、验证:1、)11(yxez,满足zyzyxzx222；2、222zyxr满足rzzryrxr222222.七、设0,00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf求xyxff,.西南财经大学天府学院一、1、yxyxyxy2csc2,2csc22；2、)1(2yxyexy,)1(2xxyexy；3、xxzxzyzyzyln1,1,xxzyzyln2；4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy；5、)ln1()(yxyzyyxz.二、1、xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12;练习题答案西南财经大学天府学院2、zzyxyxzxu21)(1)(,,)(1)(21zzyxyxzyuzyxyxyxzu2)(1)ln()(.三、4.四、,)1(,ln222222xxyxxyzyyxz)1ln(12yxyyxzx.五、223231,0yyxzyxz.西南财经大学天府学院七、0,0;0,00,0,0,arctan2yxyxyxyxyyxyxfx,0,0,10,0,12222yxxyyxyxxfxy.