最详!!定积分与微积分

第3课时定积分与微积分基本定理1．定积分的概念(1)定积分的定义和相关概念①如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，基础知识梳理…，n)，作和式，i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1nb－anf(ξi)当n→∞时，上述和式无限接近，这个叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定基础知识梳理某个常数常数积分，记作，即∫baf(x)dx＝．limn→∞i＝1nb－anf(ξi)基础知识梳理②在abf(x)dx中，分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，叫做被积函数，叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．a与b[a，b]函数f(x)x基础知识梳理(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分abf(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(图1中阴影部分)．基础知识梳理基础知识梳理②一般情况下，定积分abf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(图2中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质①kf(x)dx＝．②[f1(x)±f2(x)]dx＝.③f(x)dx＝．基础知识梳理kabf(x)dx(k为常数)abf1(x)dx±abf2(x)dxacf(x)dx＋cbf(x)dx(其中acb)基础知识梳理你能从定积分的几何意义解释性质③吗？【思考·提示】如图所示，设在区间[a，b]上恒有f(x)≥0，c是区间(a，b)内的一点，那么从几何图形上看，直线x＝c把大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此，大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2，用定积分表示就是性质③.基础知识梳理2．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成，即abf(x)dx＝＝F(b)－F(a)．F(b)－F(a)答案：A三基能力强化1．下列值等于12的积分是()A．01xdxB．0212dxC．012dxD．022dx三基能力强化2．(教材习题改编)曲线y＝cosx(0≤x≤32π)与坐标轴所围成的面积是()A．2B．3C.52D．4答案：B三基能力强化3．设f(x)＝x2(x≥0)2x(x0)，则-11f(x)dx的值是()A．-11x2dxB．-112xdxC．-10x2dx＋012xdxD．-102xdx＋01x2dx答案：D三基能力强化4．12(2x2－1x)dx＝________.答案：143－ln2答案：1三基能力强化5．已知-1a(2x＋1)dx＝2，则a＝________.求函数f(x)的定积分，关键是求出函数f(x)的一个原函数F(x)，即满足F′(x)＝f(x)．正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系．课堂互动讲练考点一求已知函数的定积分课堂互动讲练例1求下列函数的定积分：(1)02(4x3＋3x2－x)dx；(2)12(e2x＋1x)dx；(3)0π2sin2x2dx.【思路点拨】(1)(2)先利用定积分的性质将被积函数化简再求．(3)先化简，再求定积分．课堂互动讲练【解】(1)02(4x3＋3x2－x)dx＝02(4x3)dx＋02(3x2)dx－02xdx＝x4|20＋x3|20－12x2|20＝(24－0)＋(23－0)－12(22－0)＝16＋8－2＝22.课堂互动讲练(2)∵(lnx)′＝1x，(12e2x)′＝e2x，∴12(e2x＋1x)dx＝12e2xdx＋121xdx＝12e2x|21＋lnx|21＝12e4－12e2＋ln2－ln1＝12e4－12e2＋ln2.课堂互动讲练【规律总结】计算简单定积分的步骤(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；(3)分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；(4)利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算所求定积分的值．课堂互动讲练1．分段函数的定积分(1)分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成几段定积分的和的形式．(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细．课堂互动讲练考点二求分段函数的定积分课堂互动讲练2．奇偶函数在对称区间上的定积分(1)若f(x)为偶函数，且在关于原点对称的区间[－a，a]上连续，则-aaf(x)dx＝20af(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，且在关于原点对称的区间[－a，a]上连续，则-aaf(x)dx＝0.课堂互动讲练例2(1)求函数f(x)＝x3(0≤x≤1)x(1x≤4)2x－14(4x≤5)在区间[0,5]上的定积分．(2)求12|3－2x|dx.【思路点拨】(1)f(x)在[0,5]上的定积分，可按照f(x)的分段标准，分成[0,1]，(1,4]，(4,5]三段的定积分的和；课堂互动讲练(2)由|3－2x|＝3－2x1≤x≤322x－332x≤2，可分为两段定积分，再求和．课堂互动讲练【解】(1)由定积分性质知05f(x)dx＝01f(x)dx＋14f(x)dx＋45f(x)dx＝01x3dx＋14xdx＋45(2x－14)dx＝x44|10＋23x32|41＋(2xln2－14x)|54＝14＋163－23＋32ln2－14×5－(16ln2－14×4)＝16ln2－10912.课堂互动讲练【名师点评】分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成几段定积分的和的形式.分段的标准只需依据已知函数的分段标准即可．课堂互动讲练利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形，结合图形位置，确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．课堂互动讲练考点三定积分的几何意义课堂互动讲练例3利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．(2)y＝x－2，x＝y2.(1)y＝0，y＝x，x＝2；【思路点拨】先将区域面积表示成若干个定积分的和或差，再运用牛顿—莱布尼兹公式计算．课堂互动讲练(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示：S＝A1＋A2.课堂互动讲练A1由y＝x，y＝－x，x＝1围成；A2由y＝x，y＝x－2，x＝1和x＝4围成．∴A1＝01[x－(－x)]dx，A2＝14[x－(x－2)]dx，∴S＝012xdx＋14(x－x＋2)dx＝201xdx＋14xdx－14xdx＋142dx课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评】用定积分计算平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状，选择积分函数，再确定积分上、下限，当计算公式S＝ab|f(x)－g(x)|dx中的f(x)或g(x)是分段函数时，面积要分块计算．利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体作变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．课堂互动讲练考点四定积分在物理中的应用课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分10分)一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，求该物体在12s～6s间的运动路程．【思路点拨】从图上可以看出物体在0≤t≤1时做加速运动，1≤t≤3时做匀速运动，3≤t≤6时也做加速运动，但加速度不同，也就是说0≤t≤6时，v(t)为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积．课堂互动讲练课堂互动讲练【解】v(t)＝2t(0≤t≤1)2(1t≤3)13t＋1(3t≤6)，……..…..3分课堂互动讲练【名师点评】本题在求12s～6s间的运动路程时，第一段面积不需要都计算进去，只要计算[12，1]上的就可以了，这一点在计算时易弄错．(本题满分10分)物体A以初速度为2(速度v的单位：m/s)、加速度为a(t)＝6t(t的单位：s)在一直线上运动．在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v＝10t＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度运动．(1)求物体A的速度；(2)两物体何时相遇？相遇地与物体A的出发地的距离是多少？课堂互动讲练高考检阅解：(1)设物体A在时刻t的速度为v(t)，依题意有v(0)＝2，2分课堂互动讲练v′(t)＝a(t)＝6t，且v(t)－v(0)＝0ta(t)dt＝0t(6t)dt＝3t2|t0＝3t2.∴v(t)＝3t2＋2.5分课堂互动讲练(2)设t时刻两物体相遇，则有0t(3t2＋2)dt＝5＋0t(10t＋1)dt，即(t3＋2t)|t0＝5＋(5t2＋t)|t0，∴t3－5t2＋t－5＝0，(t－5)(t2＋1)＝0，t＝5(s).8分∴两物体运动5s时相遇．相遇地与物体A的出发地的距离为s＝05(3t2＋2)dt＝(t3＋2t)|50＝53＋2×5＝135(m).10分规律方法总结1．定积分的概念应注意的问题(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即abf(x)dx＝abf(t)dt＝abf(μ)dμ.(2)定义中区间的分法和ξi的取法都是任意的．规律方法总结(3)在定积分的定义中，abf(x)dx限定下限小于上限，即a＜b，为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：abf(x)dx＝－baf(x)dx，aaf(x)dx＝0.2．求定积分的常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分．规律方法总结随堂即时巩固点击进入课时活页训练点击进入