实变函数 对等与基数

第二节对等与基数第一章集合及其基数定义1：设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则f，对X中的每个x，均存在Y中唯一的y与之对应，则称这个对应法则f是从X到Y的一个映射，记作f:X→Y。X称为f的定义域。１映射的定义当映射f使y与x对应时，y称为x在映射f下的像。像的全体组成值域。对于某一固定的y，称适应关系y=f(x)的x的全体是元素y在映射f下的原像。注：模糊集：参见：《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》，L.A.Zadeh]1,0[:Xf例12、实数的加法运算+:R×R→Rba1、定积分运算为从[a,b]上的可积函数集到实数集的映射。AxAxAx10)(}1,0{:XA3、集合A的特征函数（集合A与特征函数互相决定）称为集A的特征函数，定义2：设X,Y是两个非空集合，集合X到集合Y上的一一映射f满足：(1)单射：对任意x,yX，如果f(x)=f(y)，则x=y(2)满射：Y对任意y，存在xX,使得f(x)=y既是单射又是满射的映射称为双射或一一映射。1:,,,(){():}(),1)()();2)()()(),()();3)()()(),()();fXYABAXfxxAAfAABfAfBfABfAfBfAfAfABfAfBfAfA定理：设是的子集，称为的像集，记作则有：一般地有：一般地有：011011()(),,,B,()(B)()(B).2)()(),,()()()().()(),,()()()()(fafAaAABafaffAffafAaAfafAfAfAfbfAbAfbfAfAfAfA证明：）由于所以从而，所以必存在某个，使得很显然，，所以必有使得从而，所以)2集合运算关于映射的性质（像集）11111111111112:,,,,(){:()}()()1)()();2)()()(),()();3)()()(),()();fXYAXCDCYxfxCCfCfCDfCfDfCDfCfDfCfCfCDfCfDfCfC定理：设是的子集，称为的原像集，记作不一定有逆映射，则有：一般地有：一般地有：集合运算关于映射的性质（原像集）注：6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f为单射，7）等号成立当且仅当f为满射证明的过程略;)]([)7)];([)6;)]([)()5);(\)()\()41111111CCffAffACfCfDfCfDCfcc;~~,~)3;~~)2;~)1)2CACBBAABBAAA传递性：对称性：自反性：性质3对等与势1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的一一映射（既单又满），则称A与B对等,注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广ABA~~记作约定ZNNN~~~)1偶数奇数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...1,3,5,7,9,11,13,15,...2,4,6,8,10,12,14,16...n2n-12n0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,...…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...例20122+1,1,2,mmmmm2)(1,1)~(,))2(:xtgxf有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能。例2Galileo在17世纪最先考虑自然数与自然数平方的多少,1870Cantor开始系统考虑.；则称若BABA,~)1基数的大小比较(1,1)~(1,1)(,)如：12)~,ABBABABBA若则称；相当于：到有一个单射，也相当于到有一个满射3),ABABABAB若且，则称注：不能用与的一个真子集对等描述.~,~,~,****BABABBABAABA则，使的子集及，使的子集是两个集，若有设,,.ABBAAB即：若则4Bernstein定理单射。又满的映射转化找两个；从而我们把找既单，只需找一个单射即可而要证射；间找一个既单又满的映与，需要在注：要证BABABA例：由可知，试问如何构造两者间的既单又满的映射。]1,1[~)1,1()1,1(~),(]1,1[)1,1(Bernstein定理的证明么：中的集合两两不交，那两两不交中的集合而且指标集，又是一个是两个集族，引理：设}:{,}:{,~,,}:{}:{BABABABA~ABfλBernstein定理的证明.,**gABfBA上的一一映射到以及上的一一映射到根据题设，存在证明:ABgf*B*ABernstein定理的证明（续）AB*B*A1A*1\AAA令2Ag)(12BgA3Ag)(23BgA3Bf)(33AfB2Bf)(22AfB1B)(11AfB令fAB*B*A1A1Bf2A3A2B3Bgffg不交与，故而知由21*1*12*\,)()(AAAAAABgAABg不交的象在从而2121,,BBfAA不交下的象在3221,,AAgBB两两不交故不交与知由32131*3,,,,AAAAAAA123123,,,,AAAfBBB从而在下的象也两两不交，Bernstein定理的证明（续）Bernstein定理的证明11321321~),,2,1(~,,,,,,,nnfnnnfnBAnBABBBAAA所以而且也两两不交两两不交从而1111~(1,2,),~ggkkkkkkBAkBA另外由可知**111~,\~\ggkkkkBABBAA又所以111111*\\)\(\kkkkkkAAAAAAA11\~\kkkkAABBBBBBAAAAkkkkkkkk)()\(~)()\(1111此处都是关于映射g,如果不是同一映射,则不一定成立.