高数下11-4(A)n

第四节对面积的曲面积分1.概念与性质2.计算3.对度量积分的应用4.小结1/20一、概念与性质f(x,y,z)在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分dSzyxf),,(iiiniiSf),,(lim101.概念2.性质线性；)1；关于积分曲面的可加性)2；||)3dS；比较TH)4.TH)6中值估值不等式；)52/20二、计算基本方法——找到（以直角坐标为参数）的双参数方程，将曲面积分化为对参数的二重积分。,),(),()1xyDyxyxzz：设光滑曲面dSkndxy),cos(上则.),(1xyDCyxz其中上而ndScos)1,,(yxzz)1,,(11220yxyxzzzzn上,122dxdyzzdSyx3/20;1)],(,,[22dxdyzzyxzyxfxyDyx代入xyDyxyxzzdSzyxf),(),,(:),,(则同理可得;1]),,(,[22dzdxyyzxzyxfzxDxz代入dSzyxfzxDxzxzyy),(),,(:),,(.代入dSzyxfyzDzyzyxx),(),,(:),,(4/20注意：一投、二代、三换．例1积分曲面：yz5,解.25:),(22yxDyxxy,2dxdydSzyx)(故xyDdxdyyyx)5(2xyDdxdyx)5(2|D|xy25.2125dxdyzzdSyx221所截得的部分。柱面被为平面，计算255Σ)(22yxzydSzyx5/20另解dSzyx)(.2125dSzy)(前后对称dS5方程||5|cos|||5xyD|4cos|||5xyD例1所截得的部分。柱面被为平面，计算255Σ)(22yxzydSzyx6/20例2求dSxyz||,:22yxz（10z）.解(1为第一卦限部分)dSxyz||14xyzdS对称性0,0,1:2222221)(4yxyxDyxxydxdyzzyxxyxyDdxdyyxyxxy2222441)(442015125极坐标（去绝对值）7/20xyz计算xdS,:122yx与2xz及0z所围立体的表面.例38/20计算xdS,:122yx与2xz及0z所围立体的表面.例3解xdS底(顶xdS)侧xdS底xdxdyyxDxy1:22xdS底或0对称性;0前后对称xdSxyDyxxz),(,2：顶dxdyxxyD2；对称性08/20xdS侧xdSzxDxzxy),(,1:22右侧左右对称dzdxyyxxzDzx2212xzDdxdzxxx221121120212xdzdxxx,xdS00.9/20xoz计算dSzyx)(222,:内接于球面2222azyx的八面体azyx||||||表面.例4解(1为第一卦限部分)原式0,0,0,2221)(8zyxazyxdSzyx：对称性xyDyxyxazdSx),(:2142轮换对称性xyDdxdyx3422432a10/20三、对度量积分的应用对度量的积分：)1区间上的定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分。几何应用：)2求弧长—定积分和曲线积分；—求面积曲线积分；曲面积分、—定积分、二重积分、—求体积三重积分。—定积分、二重积分、—11/20||)(dPf理量：求质量与质量有关的物)3*则质量为为、质量密度函数设物体所占几何形体为m,),(P质心（重心）转动惯量轴方向上的分力处单位质点的引力在对xP0m质量)(Pdm;/m||)(dPxx，轴的距离到（||)()2dPlPIl;||)()(200dPPPIP点的距离到.||)(||||10020dPPPxxPPG;||)(dP)(PdFFxx12/20.22222面积部分曲面所割下被圆柱面锥面的xyxyxz1xyzo1.例513/20xyzo11D02:22zxyx解Ddxdy22dSS.22222面积部分曲面所割下被圆柱面锥面的xyxyxz例5Dyxdxdyzz22114/20*例6解.,(1,1))0,0(:,),(2求其质量之间的弧段与上的密度函数面上的线状物体设BOxyLyyxLxOy所求质量dsyxL),(dxxx22102)(1dxxx21041)1-5(5121dsyL15/20*例7设平面薄板由)cos1()sin(tayttax，)20(t与x轴围成，它的面密度1，求形心坐标．解Da2a)(xyD关于直线ax对称，ax,DDdxdyydxdyy/)(020)(020/xyaxyadydxydydxaadxxydxxy20202)(/)(2120202)()(/)()(21tdxtytdxty换元.6516/20*例8设均匀直角三角形薄板两直角边长分别为a、b，求三角形对其中任一直角边的转动惯量.解设三角形两直角边分别在x轴和y轴上(如图).aboyxdxdyxIDy2abaxdydxx0)1(02.1213ba同理dxdyyIDx2.1213ab17/20*例9求面密度为常量、半径为R的均匀圆形薄片：222Ryx、0z对z轴上点),0,0(0aM处的单位质点的引力．)0(a解由对称性知,0yxFFdayxaGFDz23)(1222oyzxFdadaGR0222023)(1所求引力为)).11(2,0,0(22aaRGa18/20四、小结1.对面积的曲面积分的概念与性质2.对面积的曲面积分的计算基本方法——化为对参数的二重积分；基本技巧——可用对称性、轮换对等性、曲面方程化简曲面积分；（将积分曲面表为函数曲面，化曲面积分为对自变量在投影区域上的二重积分）3.对度量积分的几何应用*与物理应用。19/20思考题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.221yxzz思考题解答2211),cos(yxzzkn.122的放大比对是xyyxddSzz20/20