5(1).3 换元积分法

——一元微积分学大学数学（一）5.3换元积分法不定积分的计算利用不定积分的性质换元法(第一、第二)分部积分法有理函数积分法5.2不定积分的换元法利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法——不定积分换元法.它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的.(1)不定积分的第一换元法:公式首先看复合函数的导数)(),(上的可构成区间设可微函数IxuuFy),())(()))(((xxFxF)),((则可微的复合函数xFy它的微分形式为xxxFxFd)())(()))((d(),()(则记ufuF,d)(d)())(()))((d(uufxxxfxF看出点什么东西没有?原函数?被积表达式?也是被积表达式?定理,)()(上的一个原函数在区间是设IufuF则有：均连续,)(',)(),(xxuf.))(()(d)(d)())((CxFCuFuufxxxf该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。例1.d)12(33xx求解d1)6128(d)12(24633xxxxxxxxxxxxxdd6d12d8246.251278357Cxxxx例2解.dcossin3xxx求,dcosd,sin故则令xxuxuuuxxxddcossin33Cu441C4sin41.162dxxx求2636213113113uduxdxdxxxxu.arcsin313Cx例3解例4解.cosd4xx计算,cosddtan2于是，则令xxuxuxxxxxxxxdcos1secdcos1cos1cosd22224xxx22cosd)tan1(.tan31tan3133CxxCuuuud)1(2例5解.dsecxx求xxxxxxxdsecsec)sec(tandsecxxxxxdsectan)sec(tan.|sectan|lnCxxCxxCuuuuxxxxxxxx1sin1sinln2111ln211dsin1dcoscosdcosdsec222则有此题若按下面方式做，Cxfxxfxf|)(|lnd)()(:一般有例6解.lndxxx求于是则令,1d,lnxuxuCuuuxxx||lndlnd.|ln|lnCx.)ln(d)(d)(ln:xuuufxxxf一般公式例7解.d22xax计算，故，则令xxuxud2d2xxaxaaxaxd)11(21d22.||ln21Cxaxaa常用的公式有：;)sin(d)(dcos)(sin)1(xuuufxxxf;)cos(d)(dsin)(cos)2(xuuufxxxf;)tan(d)(cosd)(tan)3(2xuuufxxxf;)sin(d)1(dcossin)4(1212xuuuuxxxnmnm;)cos(d)1(dcossin)5(1212xuuuuxxxnmmn;)tan()1(ddcossin)6(12222xuuuuxxxnmmnm;)cos()1(dusind)7(222xuuxxnn;)sin()1(dcosd)8(222xuuuxxnn;)tan(d)1(sind)9(2122xuuuuxxnnn;)tan(d)1(cosd)10(122xuuuxxnn.,Znm其中(2)不定积分的第二换元法d)(d)())((是被积表达式第一换元法：uufxxxf常遇到的是一般形。而在实际问题中，常已明显含有因子)(x。，而不能分出因子式的积分：)(d)(xxxf将积分转化：及反函数的导数公式，这时我们利用复合函数ttgtttfd)(d)())((xxfd)()(tx令CtF)(容易积出：定理上在区间，、、设函数*)()()(')()(ItxICxxxf存在且可导，)()())((*，则上有原函数在区间若tFIttf上有在区间I,))((d)(1CxFxxf是积分常数。的反函数；是其中，)()(1Ctx证存在，存在定理可知：由定理的条件及反函数)(1xt上单调增加、可微。且在I导法则，有由复合函数及反函数求))(())(()))(((111xxFxF)(1)(ttF)(1)())((tttf))((tf.)(xf)())((1上的一个原函数，故在是即IxfxF.))((d)(1CxFxxf例8解).0(d22aaxx计算算。现在采用第二换元法计22dsecdtan2，故－，，则令tttaxtaxtattaaxxsecdsecd222ttdsec1|tansec|lnCtt)ln(.||ln122aCCCaxx22axxat的表达式的积分，、一般说来，含有2222axxa。来代替原变量的三角函数或双曲函数可用新变量xt通过这种代换将根式积分化为三角有理式积分.22xa2,2,sinttax22xa2,2,tanttax22ax2,0,secttax被积函数中含有根式相应的三角代换例9解.)0(d22axxa计算故则令,dcosd,22,sinttaxttaxdcosdcoscosd2222ttattataxxattad22cos12Ctta)2sin21(22.2arcsin2222Cxaxaxaxat22xa例10解.)0()(d322axax计算,dcosd,22,sin故则令ttaxttaxttaxax22322cosd1)(dCtatan12.222Cxaaxxat22xa.22dxxax令,sectax则原式tdtadtttadtttatata2222tancossincossinsectandttdtadtta22sec)1(secCattadttdatantan.arccos22Cxaax例11解例12解.)1(d24xxx计算),0,0(,dd,12故则令txttxtx1d)1(d2424tttxxxtttd11)1(24d)111(22tttCtttarctan33.1arctan1313Cxxx积分经常有效：“倒代换”法对于下列)(d2cbxaxnmxx)1(tnmx令的好方法。倒代换法是一个去分母例13解.1dxx计算d2d，故，则令ttxxttttxx1d21dtttd1112ttd)111(2Ctt)|1|ln(2.)1ln(22Cxx例14解).0(d22axxxa计算dcosd20sin，故，则，令ttaxttaxtattaxxxasindcosd222ttttadsinsincos22221)d(uuuauuad)111(2Cuuaua|1||1|ln2.||ln2222Cxxaaaxa