第十五章 结构动力计算

学习目的和要求工程结构除受静荷载作用外，有时还会受到随时间迅速变化的动荷载作用，如地震荷载等。在动荷载作用下，结构发生振动，结构的内力、位移等将随时间变化。确定它们的变化规律，从而得到这些量的最大值，以便做出合理的动力设计是本章的学习目的。本章基本要求：掌握动力自由度的判别方法。掌握单自由度、有限自由度体系运动方程的建立方法。熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系动力特性的计算。熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系在简谐荷载作用下动内力、动位移的计算。掌握阻尼对振动的影响。了解自振频率的近似计算方法。§13.1结构动力计算概述⑴结构动力计算的特点①荷载、约束力、内力、位移等随时间变化；②建立平衡方程时要考虑质量的惯性力。⑵结构动力计算的内容①确定结构的动力特性，即结构本身的自振频率、振型和阻尼参数。通过自由振动（由初位移或初速度引起的振动）研究结构的自振频率和振型。②计算结构的动力反应，即结构在动荷载作用下产生的动内力、动位移等。通过强迫振动（由动荷载引起的振动）研究结构在动荷载作用下的动力反应。结构的动力反应与动力特性有密切的关系。⑶动力计算自由度确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的数目称为体系的振动自由度。实际结构的质量都是连续分布的，都是无限自由度体系，常作简化如下：①集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。②广义坐标法假设振动曲线为是满足位移边界条件的已知函数,称为形状函数,a1,a2,…an为待定参数（广义坐标）。如an只取有限项，则结构简化成有限自由度体系。③几点注意：对于具有集中质量的体系，可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度。振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和超静定次数无关。如图1所示几个体系。1）集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。mmm梁m+αm梁II2Im+αm柱厂房排架水平振动时的计算简图(屋架质量远大于柱子质量)单自由度体系三个自由度体系水平振动时的计算体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块θ(t)v(t)u(t)三个自由度三个自由度复杂体系可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度⑷动力计算的原理和方法结构动力计算中常用的基本原理为达朗伯原理：在质点运动的每一瞬时，作用在质点上的所有外力（荷载与约束力）与假想地加在质点上的惯性力互相平衡，可利用静力学的处理方法建立结构的运动方程。在建立运动方程时，取静力平衡位置作为位移y的坐标原点，位移y、速度、加速度的正方向取为一致。①柔度法利用体系的柔度系数，根据位移协调条件建立运动方程。在质点运动的任一时刻，体系在质点处的位移应等于该时刻的动荷载、惯性力、阻尼力共同作用下所产生的静力位移。②刚度法利用体系的刚度系数，根据平衡条件建立运动方程。在质点运动的任一时刻，各质点上的动荷载、惯性力、弹性力、阻尼力组成平衡力系。其中惯性力、阻尼力为，弹性力列向量为按位移法原理来求。iky⑸动荷载分类：按其变化规律及其作用特点可分为:1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。3）随机荷载：(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）§13.2单自由度自由振动•⑴建立运动方程①柔度法取体系为研究对象，在质点上假想地加上惯性力，如图1，质点位移为惯性力产生的静位移，列出运动方程为：②刚度法。取质点为研究对象，作用在质点上的弹性力和假想地加在质点上的惯性力互相平衡，建立平衡方程得运动方程为：)]([)(tymty)()(tymtky自由振动---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。分析自由振动的目的---确定体系的动力特性：频率、周期。一.运动方程及其解阻尼---耗散能量的作用。mEIl)(ty)(tym)]([)(tymty)()(tymtky0)()(2tyty令mmk12二阶线性齐次常微分方程自由振动微分方程的解)(mk)sin()(atatysincos)(00tvtyty)0(020yCyycossin)(21tCtCtyy(t)ty0－y0y(t)tv0/ω－v0/ωTta－aTα/ω)(0akyym..02yy..)0(010vCvy.总位移)sin()(atatysincos)(00tvtyty001vytga22020,vya0cosav0sinayasincoscossintataaa振幅:初始相位角:无阻尼自由振动是简谐振动结构的自振周期和自振频率)sin()(ataty)2(pty))2(sin(apta)2sin(pata周期函数的条件:y(t+T)=y(t))sin()(ataty是周期函数,且周期是:p2T频率:p21Tf每秒钟内的振动次数.圆频率:fTpp222π秒内的振动次数.自振周期计算公式的几种形式：gstDp2gWp2mp2kmp2Tp2圆频率计算公式的几种形式：stgDWgmkm1例题1－6频率计算例1：图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三则者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求δEIl4831P=13l/165l/32P=1l/2EIlllllEIl7687)325216322(61321EIl768732EIl19233311481mlEIm32277681mlEIm3331921mlEIm据此可得：ω1∷ω2∷ω3=1∷1.512∷2结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。l/2l/2ml/2l/2k1ACB3396)2/(12lEIlEIQCB3396)2/(12lEIlEIQCAQCAQCB3192lEIQQkCBCA3192mlEImk例2:求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。EIEIEI1=∞mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h3315hEIk315mhEImk274l272l9l113lEIlllllEIl43745)9327432(613311311543741mlEIml/32l/3m例3例4l/2lm12lEIlllllllEI8)3222212322221(131131181mlEIm1θ例5解法1：求kθ=1/hMBA=kh=MBCk1hmI=∞EIBAClhEIlEI33lmhEImk211323lhEIk1h解法2：求δEIlhhlhEI3322121121131mlhEIm例6lEImk1k11k11k33lEI解：求k3113lEIkkmkmklEI3311•对于静定结构一般计算柔度系数方便。•如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方便。312lEI一端铰结的杆的侧移刚度为：33lEI两端刚结的杆的侧移刚度为：§13.3单自由度强迫振动⑴简谐荷载强迫振动（受迫振动）：结构在荷载作用下的振动。ky(t)ymkyP(t)mP(t)P(t)m弹性力－ky、惯性力和荷载P(t)之间的平衡方程为:1、简谐荷载：tmFtAsinsin)(22tmFtAtAsinsinsin22tAysin)(22mFAtytmFystsin)1(1sin)1(22222FmFyst2单自由度体系强迫振动的微分方程特解：my..)(......)(atPkymy..)1117()(2mtPyy..my..mtFyysin2..最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。tyystsin1122特解可写为：通解可写为：ttCtCycossin21设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：0,12221CyCst)sin(sin1122ttyyst过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）按自振频率振动按荷载频率振动平稳阶段：tyystsin1122最大动位移（振幅）为：22max11][styy22max11][styy动力系数β为：1023123重要的特性：当θ/ω→0时,β→1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。当0θ/ω1时,β1，并且随θ/ω的增大而增大。当θ/ω→1时,β→∞。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75θ/ω1.25称为共振区。当θ/ω1时,β的绝对值随θ/ω的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。①简谐荷载作用下动力反应的一般计算方法由以上各式可见，对于无阻尼体系，位移、惯性力、动荷载三者频率相同，相位角相同。三者同时达到幅值。由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值时，内力也达到幅值。于是得到简谐荷载作用下动力反应的一般计算方法：将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按一般静力学方法求解，即得到体系的最大动内力和最大动位移。②比例算法：单自由度体系荷载作用在振动质点上，并且其作用线与质点运动方向重合时，荷载和惯性力共线，两者可以合成一个力为：可见，只需按静力法求出荷载幅值P0产生的静内力和静位移，乘以动力系数即可得到动内力幅值和动位移的幅值。内力和位移的动力系数相同。不计阻尼时，动力系数在（－∞，0）和（1，∞）范围内变化，θω时，β0，θω时，β0。由于振动是往复的，对于单自由度体系的振动计算来说β的正负并无实际意义，常取其绝对值。例题1强迫振动例题当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的动内力和动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。例：已知m=300kg，EI=90×105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,θ=80s-1求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkPsinθt2m解：1)求ωkEIl212148321EIlEIlEIl192519248333131116.13451921smlEIm2)求β552.11122mEIlPPy35333max1075.51090192451020552.119253)求ymax,MmaxmkNlPM.04.31420552.141)(41max例17-3有一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。梁长l=4m.解：1）求自振频率和荷载频率SQlEIg13434.57400359807480101.24848Sn13.526050014.32602p2）求动力系数β88.54.573.5211112222EIPlEIQlystst484833maxDDWlPQWPlWQl4)(44maxstgD175.6MPa必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质点上受干扰