高中数学课件：第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理

1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章解三角形考点一考点二考点三N0.1课堂强化N0.2课下检测返回返回返回返回返回返回[读教材·填要点]1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即a2＝，b2＝，c2＝.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC返回2．余弦定理的推论在△ABC中，cosA＝，cosB＝，cosC＝.b2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab返回3．余弦定理及其推论的应用应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形问题：(1)已知两边及其夹角解三角形；(2)已知三边解三角形．返回[小问题·大思维]1．你认为“余弦定理”和“勾股定理”之间有什么关系？提示：若△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，则cosC＝a2＋b2－c22ab＝0，即a2＋b2＝c2.故余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．返回2．若△ABC为钝角三角形，且A90°，则三边a，b，c满足什么关系？提示：∵a，b，c为△ABC的三边，且A90°，∴cosA0，即b2＋c2－a22bc0.∴b2＋c2a2.返回3．已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？返回提示：由余弦定理可知：不妨设a、b边和其夹角C已知，则c2＝a2＋b2－2abcosC，c唯一，cosB＝a2＋c2－b22ac，∵0Bπ，∴B唯一，从而A也唯一．综上可知，三角形其他元素唯一确定．返回返回[研一题][例1]在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求A、C和a.返回[自主解答]法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2×33a×cos30°，a2－9a＋18＝0，∴a＝6或a＝3.当a＝6时，由正弦定理，返回得sinA＝asinBb＝6×123＝1，∴A＝90°，C＝60°.当a＝3时，A＝30°，C＝120°.返回法二：由bc，B＝30°，bcsin30°＝323知，本题有两解．sinC＝csinBb＝333×12＝32，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝b2＋c2＝32＋332＝6；当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.返回若将“c＝33，B＝30°”改为“c＝23，A＝30°”，应如何求解此三角形？返回解：直接运用余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(23)2－2×3×23×cos30°＝3，从而a＝3，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝32＋232－322×3×23＝612＝12.∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.返回[悟一法]三角形中，已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解．返回[通一类]1．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.返回解：由题意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19.∴c＝19.返回[研一题][例2]在△ABC中，已知a＝23，b＝6，c＝3＋3，解三角形ABC.返回[自主解答]法一：由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝62＋3＋32－2322×6×3＋3＝22，∴A＝45°.同理可求B＝30°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.返回法二：由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝62＋3＋32－2322×6×3＋3＝22，∴A＝45°.由正弦定理asinA＝bsinB知23sin45°＝6sinB，返回得sinB＝6·sin45°23＝12.因ab知AB，∴B＝30°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.返回[悟一法]已知三边解三角形的方法及注意事项：(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果惟一．返回(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小．(3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．返回[通一类]2．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．返回解：由余弦定理的推论得：cosA＝AB2＋AC2－BC22·AB·AC＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝AC22＋AB2－2·AC2·ABcosA＝42＋92－2×4×9×23＝49则x＝7.所以，所求中线长为7.返回[研一题][例3]在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状．返回[自主解答]结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为(a－c·a2＋c2－b22ac)·b＝(b－c·b2＋c2－a22bc)·a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，故三角形为等腰三角形或直角三角形．返回[悟一法]利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项：(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．返回[通一类]3．在△ABC中，acos(B＋C)＋bcos(A＋C)＝ccos(A＋B)，试判断△ABC的形状．返回解：∵A＋B＋C＝π，∴原式可化为acosA＋bcosB＝c·cosC.由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.返回故有a·b2＋c2－a22bc＋b·a2＋c2－b22ac＝c·a2＋b2－c22ab整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形.返回在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A.[错解]由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2×2×22×6＋24＝8－43，所以c＝6－2.返回又由正弦定理，得sinA＝asinCc＝12.因为0°A180°，所以A＝30°或150°.[错因]注意到已知条件中b＝22a＝2这一隐含条件，可以得BA.所以A＝150°是不可能的．这一结果就是增解，应当舍去．返回[正解]由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－43，所以c＝6－2.又由正弦定理，得sinA＝asinCc＝12，因为ba，所以BA.又因为0°A180°，所以A＝30°.返回返回点击此图片进入NO.1课堂强化返回点击此图片进入NO.2课下检测