2013届高三数学一轮复习课件第三章数列等比数列

2013届高三数学一轮复习课件第三章数列等比数列考点考纲解读1等比数列的概念重视探索等比数列的通项公式和前n项和公式过程;加强等比数列基础知识、等比数列基本运算及综合应用问题的应用.2等比数列的通项公式与前n项和公式3数列的等比关系强调创设具体的问题情境,在知识的应用方面,学会用等比数列的知识解决简单的实际问题,加强了应用问题的难度.4等比数列与指数函数的关系 等比数列是一种特殊的数列,是本章知识的重要内容之一,在学习过程中,要类比等差数列的学习方法学习,近几年高考中,对等比数列的概念,通项公式、性质,等比数列公式及前n项和的考查始终没有放松,要抓基础也要灵活运用等比数列的知识.预测2013年高考中,本节内容出现在填空题和选择题多为等比数列的性质为主,多为容易题,在解答题中重点考查等比数列的概念及等比数列中蕴含的函数与方程、不等式等知识,通常将an与Sn关系综合在一起考查,多为中档题,在复习时要注意把握分寸. 1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q≠0),这个数列叫做等比数列,常数q称为等比数列的公比.2.通项公式与前n项和公式(1)通项公式:an=a1qn-1,a1为首项,q为公比;推广形式:an=amqn-m;变式:q= (n,m∈N*,n≥m).(2)前n项和Sn公式:Sn= (3)若数列{an}是等比数列,则其前n项和为Sn=a·qn+c,且a+c=0.3.等比中项如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒G2=a·b.nnmmaa111(1),(1)(1).11nnnaqaaqaqqqq4.三个数或四个数成等比数列且又知道乘积时,则三个数可设为 ,a,aq,四个数可设为 , ,aq,aq3.5.等比数列的判定方法(1)定义法: =q(n∈N*,q≠0是常数)⇔{an}是等比数列;(2)中项法: =an·an+2(n∈N*)且an≠0⇔{an}是等比数列.aq3aqaq1nnaa21na(2)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.(3)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq;(4)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…是等比数列(q≠-1). 6.等比数列的常用性质(1)数列{an}是等比数列,则数列{pan}、{ }(p≠0是常数)都是等比数列;2na1.已知x,2x+2,3x+3是一个等比数列的前三项,则其第4项等于 ()(A)- .(B) .(C)27.(D)-27.【解析】由已知,(2x+2)2=x(3x+3),∴x=-4或x=-1(∵2x+2=0,舍去),∴等比数列的前三项为-4,-6,-9,∴a4=- .【答案】A2722722722.(2011年广东卷)已知{an}是等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=.【解析】∵a4-a3=4,∴a4-a3=a2q2-a2q=4,即2q2-2q=4,解得q=2或q=-1.【答案】2或-13.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q等于 ()(A)3.(B)4.(C)5.(D)6.【解析】两式相减得,3a3=a4-a3,a4=4a3,∴q= =4.【答案】B43aa4.等比数列{an}中,a7·a11=6,a4+a14=5,则 等于 ()(A) 或 .(B) 或 .(C) .(D) .【解析】因为a7·a11=a4·a14=6,又a4+a14=5,解得a4=2,a14=3或a4=3,a14=2,设公比为q,当a4=2,a14=3时,得q10= ,此时 =q10= ,当a4=3,a14=2时,同理得 = .【答案】A2010aa233213122332322010aa322010aa23 例1(1)(2011年北京卷)在等比数列{an}中,若a1= ,a4=4则公比q=.12题型1五个基本量的有关计算(2)(山东省潍坊三县2011届高三第一次联考)已知在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6= ,则该数列的公比q=.54【分析】利用等比数列的基本量a1、q等之间的关系,根据条件,利用合理的公式求解.【解析】(1)q3= = =8,∴q=2.41aa412(2)∵a4+a6=a1q3+a3q3=(a1+a3)q3,∴ =10·q3,∴q3= ,∴q= .【答案】(1)2(2) 【点评】等比数列基本量的求解关键是利用通项公式,前n项和公式列方程求解.54181212变式训练1(1)设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则 等于 ()(A)2.(B)4.(C) .(D) .42Sa152172(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则 等于 ()(A)11.(B)5.(C)-8.(D)-11.【解析】(1) =· = = .52SS42Sa11aq41(1)1aqq4122(1)152(2)通过8a2+a5=0,设公比为q,将该式转化为8a2+a2q3=0,解得q=-2, = =-11.52SS5211qq【答案】(1)C(2)D 例2(1)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于 ()(A)5 .(B)7.(C)6.(D)4 .22题型2等比数列性质的应用(2)等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)·(x-a2)…(x-a8),则f'(0)等于 ()(A)26.(B)29.(C)212.(D)215.(3)(四川成都树德协进中学2011届高三期中考试)正项等比数列{an}中 + + =81,则 + 等于 ()(A) .(B)3.(C)6.(D)9.【分析】(1)利用等比数列的性质,若m+n=p+q且m、n、p、q∈N*,则aman=apaq.241aa242a461aa31a51a19(2)考查多项式函数的导数公式与等比数列的性质.(3)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq;由已知: + + =81⇒ + + =81.【解析】(1)∵a1a2a3= =5,a7a8a9= =10,∴a4a5a6= = =5 .故选A.241aa242a461aa231a352aa251a32a38a35a3328aa2(2)在求导中,含有x项均取0,则f'(0)只与函数f(x)的一次项有关,得:a1·a2·a3···a8=(a1a8)4=212.(3)∵ + + =81,∴ + + =81,∴( + )2=81.因为数列各项都是正数,∴ + =9.241aa242a461aa231a352aa251a31a51a31a51a【答案】(1)A(2)C(3)D【点评】灵活运用性质,可以大大减少计算量,从等比数列的本质特征入手去思考,分析题意同时,注意对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若能排除3个选项,剩下唯一的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续排除.高考重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法.要在这上面下工夫.变式训练2(1)(2011年天津滨海新区五校联考)已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,设P= (log0.5a5+log0.5a7),Q=log0.5 ,P与Q的大小关系是 ()(A)P≥Q.(B)PQ.(C)P≤Q.(D)PQ.12392aa(2)已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列{ }的前5项和为 ()(A) 或5.(B) 或5.(C) .(D) .1na15831163116158(3)(2011年九江七校二月联考)设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于 ()(A) .(B)- .(C) .(D) .【解析】(1)P=log0.5 =log0.5 ,Q=log0.5 ,由 (∵q≠1,∴a3≠a9),又y=log0.5x在(0,+∞)上递减,∴log0.5 log0.5 ,即QP.181857855857aa39aa392aa392aa39aa392aa39aa(2)由题意易知q≠1,则 =,解得q=2,数列{ }是以1为首项,以 为公比的等比数列,由求和公式可得S5= .(3)由题意,S3,S6-S3,S9-S6,…成等比数列,所以,(S6-S3)2=S3·(S9-S6),解得S9-S6= ,即a7+a8+a9= .39(1)1qq611qq1na1231161818【答案】(1)D(2)C(3)A 例3已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2= ,n∈N*.12nnaa题型3等比数列的判定或证明(1)令bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列;(2)求{an}的通项公式.【分析】(1)要证明数列{an+1-an}为等比数列,只需证明 为一个与n无关的常数即可;(2)借用(1)的通项公式可求出an的表达式.【解析】(1)b1=a2-a1=1,当n≥2时,bn=an+1-an= -an=- (an-an-1)=- bn1.∴{bn}是以1为首项,- 为公比的等比数列.211nnnnaaaa12nnaa121212(2)由(1)知bn=an+1-an=(- )n-1,当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+1+(- )+…+(- )n-2=1+ =1+[1-(- )n-1]= - (- )n-1,当n=1时, - (- )1-1=1=a1也适合.∴an= - (- )n-1(n∈N*).121212111()211()2n2312532312532312532312【点评】等比数列的定义是判定或证明一个数列为等比数列的最基本方法之一,利用它解题时务必注意式子 =q中要求对于任意n≥2的正整数成立,且q是不为零的常数.1nnaa变式训练3(1)已知数列{cn},其中cn=2n+3n,且数列{(cn+1-pcn}为等比数列,求常数p.(2)设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn}不是等比数列.【解析】(1)∵{cn+1-pcn}是等比数列,∴当n≥2时有(cn+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1).将cn=2n+3n代入上式,得[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n-1+3n-1],即[(2-p)2n+(3-p)3n]2=[(2-p)2n+1+(3-p)3n+1]·[(2-p)2n-1+(3-p)3n-1],整理得 (2-p)(3-p)·2n·3n=0,16解得p=2或p=3.(2)设{an}、{bn}的公比分别为p、q,p≠q,cn=an+bn.为证{cn}不是等比数列只需证 ≠c1·c3.事实上, =(a1p+b1q)2= p2+ q2+2a1b1pq,c1·c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)= p2+ q2+a1b1(p2+q2).由于p≠q,p2+q22pq,又a1、b1不为零,因此 ≠c1·c3,故{cn}不是等比数列.22c22c21a21b21a21b22c 例4(1)已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的取值范围是 ()(A)(0, ).(B)( ,1].(C)[1, ).(D)( , ).152152152152152题型4最值与范围(2)已知等比数列{an}的各项都是正数,Sn=80,S2n=6560,且前n项中最大的一项为54,则n=.【分析】(1)由三角形的三边为正