清华机械工程控制基础课件3 稳定裕度补充

2020/2/24机械工程5.7.1相位裕度和增益裕度ReIm01平面G大时K小时K图5-46)1()1)(1()()1()1)(1()(2121jTjTjTjjjjKjGnmmn的极坐标图对于大的K值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时，)(jG的轨迹通过-1+j0点。对于小的K值，系统是稳定的。)(jG的轨迹对-1+j0点点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。)(jG5.7相对稳定性2020/2/24机械工程相位裕度、相角裕度(PhaseMargin)设系统的截止频率(Gaincross-overfrequency)为c1)()()(cccjHjGjA定义相角裕度为)()(180ccjHjG相角裕度的含义是度，则系统将变为临界稳定。对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后当0时，相位裕量为正值；0为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点为0分贝和180时，相位裕度为负值。当2020/2/24机械工程LogLogLogLog90270180PositiveGainMarginPositivePhaseMarginNegativeGainMarginNegativePhaseMarginStableSystemUnstableSystem0dB902701800dBcgcg2020/2/24机械工程增益裕度、幅值裕度(GainMargin)h设系统的相位穿越频率(Phasecross-overfrequency)()()()(21)gggGjHjk,1,0k定义幅值裕度为1()()gghGjHj幅值裕度h对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统将变为临界稳定状态。20log()()gghGjHj的含义是，若以分贝表示，则有当增益裕度以分贝表示时，如果1h0)(dBh增益裕度为正值；1h，则0)(dBh正增益裕度(以分贝表示)表示系统是稳定的；负增益裕度(以分贝表示)表示系统是不稳定的。如果增益裕度为负值。x2020/2/24机械工程LogLogLogLog90270180PositiveGainMarginPositivePhaseMarginNegativeGainMarginNegativePhaseMarginStableSystemUnstableSystem0dB902701800dBcgcg2020/2/24机械工程ReImh1PlaneGPositiveGainMarginPositivePhaseMargin-11ReImh1PlaneGNegativeGainMarginNegativePhaseMargin-11StableSystemUnstableSystem)(jG)(jG2020/2/24机械工程0)(dBh0判断系统稳定的又一方法)()(180ccjHjG20log()()gghGjHj2020/2/24机械工程一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当减少多少。一阶或二阶系统的增益裕度为多少？2020/2/24机械工程只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。6030与增益裕度应当大于6分贝。5.7.2关于相位裕度和增益裕度的几点说明控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值。为了得到满意的性能，相位裕度应当在之间，2020/2/24机械工程1)()()(cccjHjGjA定义相位裕度为)()(180ccjHjG()()()gggGjHj1()()gghGjHj20log()()gghGjHj1:2:定义增益(幅值)裕度用分贝表示:给定开环传函：1）由K求h和γ2）由h和γ求K都根据上述1和2的定义来求；求法各有两种2020/2/24机械工程例5-9一单位反馈系统的开环传递函数为)05.01)(2.01()(sssKsGK=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益K的调整，使系统的增益裕度20logh=20dB，相位裕度40解：()()()180gggGjHj()900.20.05180gggarctgarctg即0.20.0590ggarctgarctg2121211)(tgtgtgtgtg0.20.0510.20.05gggg10.20.050gg10g相位穿越频率g增益裕度2020/2/24机械工程()()20log()()gggKdBhdBGjHj120log(10.2)(10.05)gggjjj22)1005.0(1log20)102.0(1log2010log20dB281720在g处的开环对数幅值为2020/2/24机械工程根据K=1时的开环传递函数c1)()(ccjHjG)05.01)(2.01(1)(ccccjjjjG1)0025.01)(04.01(122ccc1c10405.02.090)(cccarctgarctg76104180)(180c相位裕度增益穿越频率截止频率取近似值，真正计算麻烦2020/2/24机械工程BodeDiagramFrequency(rad/sec)Phase(deg)Magnitude(dB)-40-30-20-1001020100101-225-180-135-90)(dBhc1K5.2K2.5KcK)(dBh)(dBh2020/2/24机械工程由题意知10h()0.1gGj220.1(10.04)(10.0025)gggK5.225.0141101.0K验证是否满足相位裕度的要求。根据40的要求，则得：1404018005.02.090)(cccarctgarctg5005.02.0ccarctgarctg2.105.02.0105.02.0cccc4c1)0025.01)(04.01(22cccK2.502.128.14K不难看出，5.2K就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。10gccK大，则小，小，也要小2020/2/24机械工程例5-11设一单位反馈系统对数幅频特性如图所示(最小相位系统)。写出系统的开环传递函数判别系统的稳定性如果系统是稳定的，则求ttr)(时的稳态误差。解：由图得)51)(01.01()1.01()(jjjjKjG看对数幅频特性2020/2/24机械工程10-310-210-1100101102-40-20020406080-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec0.010.115rad/sdB)(L)51)(01.01()1.01()(jjjjKjG2020/2/24机械工程1lg20)51(1lg20)01.01(1lg20)1.01(1lg20lg20222K1110010K10K)2.01)(1001()101(10)(sssssG由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知1c在c处4.1065101.011.0190)(arctgarctgarctgc则得6.73)(180c单位斜坡输入时，系统的稳态误差为1.01011vssKe0系统稳定2020/2/24机械工程5.7.3标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系S(S+2ξωn)ωn2R(s)C(s)图3-8标准形式的二阶系统方块图_在图3-8所示的标准二阶系统中，单位阶跃响应中的最大超调量可以精确地与频率响应中的谐振峰值联系在一起。因此，从本质上看，在频率响应中包含的系统动态特性信息与在瞬态响应中包含的系统的动态特性信息是相同的。)2()(2nnsssG)2()(2nnjjjG书上例5-13p203设截止频率14)(2222nccncjGc则有2020/2/24机械工程22224nncc422244ncnc24)4(44222222nnnc)214((2422nc24214(ncnarctg290)(根据相位裕度的定义nccarctg290180)(18022149024arctg242142arctg上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。14)(2222nccncjG2020/2/24机械工程00.20.40.60.811.21.41.61.820102030405060708090图5-51标准二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系2020/2/24机械工程相位裕度与阻尼比直接相关。图5-51表示了相位裕度与阻尼比的函数关系。对于标准二阶系统，当时，相位裕度与阻尼比之间的关系近似地用直线表示如下：100因此，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导极点的高阶系统，当根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳定性（即阻尼比）时，根据经验，可以应用这个公式。2020/2/24机械工程0.10.20.30.40.50.60.70.800.511.522.533.5221nr21nd对于小的阻尼比，谐振频率与阻尼自然频率的值几乎是相同的。因此，对于小的阻尼比，谐振频率的值表征了系统瞬态响应的速度。2020/2/24机械工程的值越小rM和pM的值越大。rrM和pM与之间的函数关系如图5-52所示。可以看出，当4.0时，rM和pM之间存在相近的关系。对于很小的值rM将变得很大，而pM却不会超过1。0.10.20.30.40.50.60.70.800.511.522.533.52020/2/24机械工程5.7.4截止频率与带宽(Cutofffrequencyandbandwidth)dB)(L0带宽b33图5-53截止频率与系统带宽参看图5-53，当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下3分贝时，对应的频率称为截止频率。dBjRjCjRjC3)0()0(lg20)()(lg20b对于的dBjRjC0)0()0(lg20系统dBjRjC3)()(lg20b2020/2/24机械工程闭环系统滤掉频率大于截止频率的信号分量，但是可以使频率低于截止频率的信号分量通过。