材料力学 第五章 弯曲应力

Chapter5Stressesinbeams(StressesinBeams)§5-1引言(Introduction)§5-2纯弯曲时的正应力(Normalstressesinpurebeams)§5-3横力弯曲时的正应力(Normalstressesintransversebending)§5-4梁的切应力及强度条件(Shearstressesinbeamsandstrengthcondition)第五章弯曲应力(Stressesinbeams)§5-5提高梁强度的主要措施（Measurestostrengthenthestrengthofbeams)(StressesinBeams)伽利略Galilei(1564-1642)此结论是否正确？(StressesinBeams)观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释P为什么开孔？为什么加钢筋？施工中如何安放？孔开在何处？可以在任意位置随便开孔吗？(StressesinBeams)你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？(StressesinBeams)mmFSM一、弯曲构件横截面上的应力(Stressesinflexuralmembers)当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS.§5-1引言(Introduction)mmFSmmM只有与正应力有关的法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩.弯矩M正应力剪力FS切应力内力只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成剪力；所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力.(StressesinBeams)二、分析方法(Analysismethod)平面弯曲时横截面纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)平面弯曲时横截面横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)简支梁CD段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲.若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲.三、纯弯曲（Purebending)++FF+FaFFaaCDAB(StressesinBeams)(StressesinBeams)deformationgeometricrelationshipExaminethedeformation，thenproposethehypothesisDistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula变形几何关系物理关系静力关系观察变形，提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship§5-2纯弯曲时的正应力(Normalstressesinpurebeams)(StressesinBeams)1、实验（Experiment）(StressesinBeams)(StressesinBeams)（1）变形现象（Deformationphenomenon)纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长相对转过了一个角度,仍与变形后的纵向弧线垂直各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，横向线θ(StressesinBeams)2.提出假设(Assumptions）（a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压.推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层中性轴横截面对称轴横截面对称轴⊥中性层中性轴(StressesinBeams)(StressesinBeams)(StressesinBeams)(StressesinBeams)dx图（b）yzxO应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.图（a）dx二、变形几何关系（Deformationgeometricrelation）图（c）dzyxO’O’b’b’ybbOOxbbdOO''OOdyyddd)(d)(ybb(StressesinBeams)三、物理关系(Physicalrelationship)所以Hooke’sLawMyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.应力分布规律：?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径??EεσyEσ(StressesinBeams)yzxOMdAyσdA四、静力关系(Staticrelationship）横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.FNMzMy内力与外力相平衡可得dAdAzyAAAσFddNNFyMzMAAyAzσMddAAzAyσMdd0（1）0（2）M（3）NdFyMdzMdAσd(StressesinBeams)将应力表达式代入（1）式，得将应力表达式代入（2）式，得将应力表达式代入(3)式，得中性轴通过横截面形心zIEM1中性轴为主惯性轴,自然满足0dNAyEFA0dAAyE0dAAyzS0dAyzEMAy0dAAyzE0dAAyzyzIMAyyEMAzdMIEzMAyEAd2(StressesinBeams)zEIM1yEσ将代入得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:zIMyσM为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.(StressesinBeams)(StressesinBeams)(StressesinBeams)讨论（1）应用公式时，一般将My以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号).凹入边的应力为压应力（为负号）；（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.IyMσzmaxmax则公式改写为WMσmax引用记号—抗弯截面系数maxyIWz(StressesinBeams)（1）当中性轴为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy32π2/64/π2/34ddddIWz62/12/2/23bhhbhhIWzDdαDW)1(32π43(StressesinBeams)zy（2）对于中性轴不是对称轴的横截面ymaxcymaxtM应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式ymaxtymaxczIMyσmaxcσtmaxσIMyσzmaxcmaxcIMyσzmaxtmaxt(StressesinBeams)当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲.§5-3横力弯曲时的正应力(Normalstressesofthebeaminnonuniformbending)横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.一、横力弯曲(Nonuniformbending)虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力.等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为WxMσ)((StressesinBeams)二、公式的应用范围(Theapplicablerangeoftheflexureformula)1.在弹性范围内(Allstressesinthebeamarebelowtheproportionallimit)3.平面弯曲（Planebending）4.直梁（Straightbeams）2.具有切应力的梁（Thebeamwiththeshearstress）5/hl(StressesinBeams)注意（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力，（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布；从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；（2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力，（4）中性轴上正应力为零，并确定该点到中性轴的距离，而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。以及该点处应力的符号弯矩画在受压侧，可根据弯矩正负号确定是拉还是压。(StressesinBeams)2.强度条件的应用(Applicationofstrengthcondition)][maxσMW（2）设计截面][maxσWM（3）确定许可载荷（1）强度校核][maxσWM对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的][][ctσσ要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力][tmaxtσσ][cmaxcσσ三、强度条件（Strengthcondition)1.数学表达式（Mathematicalformula)][maxmaxσWMσ梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.(StressesinBeams)例题1螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板材料的弯曲许用应力[]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.ACBFa2a20φ30φ14FRAFRB+Fa解：（1）作出弯矩图的最大弯矩为Fa；（2）求惯性矩，抗弯截面系数433cm07.112)cm2)(cm4.1(12)cm2)(cm3(zI34maxcm07.11cmcm07.1yIWzz（3）求许可载荷][maxσWMzkN3][][aσWFσWFazz(StressesinBeams)80y1y22020120z例题2T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的许用拉应力为[t]=30MPa，许用压应力为[c]=160MPa.已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz=763cm4，y1=52mm，校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m(StressesinBeams)FRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解：kN52R.FAkN510R.FB最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上mkN5.2MCmkN4MBB截面][MPa2.27t1maxtσIyMσzB][MPa2.46c2maxcσIyMσzBC截面][MPa8.28t2maxtσIyMσzC80y1y22020120z(StressesinBeams)zmaxmaxmaxIyMσ1、塑性材料抗拉压强度相等无论内力图如何梁内最大应力σIyMσzmaxmaxmax其强度条件为通常将梁做成矩形、圆形、工字形等对称于中性轴的截面；此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。因此：强度条件可以表示为σwMσzmaxmax无论截面形状如何，a但对于塑性材料，b(StressesinBeams)2、脆性材料抗拉压强度不等。梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在通常将梁做成T形、倒T形等关于中性轴不对称的截面。离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。由于脆性材料抗压不抗拉，(StressesinBeams)MM或者①脆性材料梁的危险截面与危险点上压下拉上拉下压危险截面只有一个。tzttIMymax,czccIMymax,危险截面处分别校核：二个强度条件表达式(StressesinBeams)M危险截面有二个；每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；②脆性材料梁的危险截面与危险点tzttIMymax,czccIMymax,各危险截面处分别校核：四个强度条件表达式(StressesinBeams)上下非对称的脆性材料梁强度校核问题注意：1.最大正弯矩M1要校核；2.最大负弯矩M2也要校核；3.M1和M2中绝对值大的，拉和压都要校核，另外一个则只需校核y大的那个应力（有可能是拉，也有可能是压）(