3.1-向量组的线性相关性

第3.1节n维向量定义主要内容:一．定义二．例题三．思考练习题一、定义分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，定义：n个有次序的数12,,,naaa所组成的有序数组12,,,naaa称为一个n维向量。这n个数称为该向量的n个分量，第个数称为第个分量。iiia以后我们用小写希腊字母来代表向量。,,例如：),,3,2,1(n))1(,,32,21(inniin维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量向量通常写成一行：12,,,naaa有时也写成一列：12naaa称为行向量。称为列向量。它们的区别只是写法上的不同。分量全为零的向量称为零向量。0,0,,0向量相等：如果n维向量12,,,naaa12,,,nbbb的对应分量都相等，即1,2,,iiabin就称这两个向量相等，记为若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例1aaaaaaaaaaaamnmjmmnjnjA2122222111121112jn12jn二、例题对于的矩阵，nmA12TTTmB12nAｎ个ｍ维列向量所组成的向量组12,,,n构成一个矩阵.mnｍ个ｎ维行向量所组成的向量组12,,,TTTm也构成一个矩阵.mn矩阵与向量组之间一一对应．1122nnxxxb例2线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb1212nnxxbx即Axb或第3.2节n维向量的线性运算主要内容:一．线性运算定义二．线性运算律三．例题向量加法：向量1122,,,nnababab称为向量12,,,naaa12,,,nbbb的和，记为负向量：向量12,,,naaa称为向量的负向量向量减法：()数乘向量：设k为数域p中的数，向量12,,,nkakaka称为向量12,,,naaa与数k的数量乘积。记为k一、线性运算定义0)4(0)3()())(2()1(kkklklkkllk)8()7()()()6(1)5(二、线性运算律注：（1）对任意的向量,存在唯一的零向量,o使得o（2）对任意的向量,存在唯一的负向量,使得()o（4）如果0,则00或00;(1);00.（3）三、例题例设,]6,1,2,3[,]7,4,0,1[TT（1）求的负向量；（2）计算.23解（1）因为,0)(从而.]7,4,0,1[T（2）.]9,14,4,3[]12,2,4,6[]21,12,0,3[]6,1,2,3[2]7,4,0,1[323TTTTT第3.3节向量组的线性相关性主要内容:一．线性组合与线性表示二．向量组的线性相关性三．练习思考题一、线性组合与线性表示定义1：给定向量组12:,,,,mA对于任何一组实数12,,,,mkkk向量1122mmkkk称为向量组A的一个线性组合，12,,,mkkk称为这个线性组合的系数。定义2：给定向量组12:,,,,mA和向量如果存在一组实数12,,,m使得1122mm则称向量是向量组A的线性组合，或称向量能由向量组A线性表示。例如：12342100050100,,,,3001000001有2100050100253030010000011234=2530即所以，称是的线性组合，或可以由线性表示。1234,,,1234,,,令111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa1122nmxbxbxbxb则方程组可表示为;Axb12,,,,nA若则方程组的向量表示为1122.nnxxxb线性方程组的矩阵表示和向量表示：mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111定理1:判断向量可否由向量组线性表示的定理。12,,,m向量可由向量组线性表示的充分必要条件是：12,,,m以12,,,m为系数列向量，以为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。二、向量组的线性相关性几何意义：(1)两向量线性相关：两向量共线.(2)三向量线性相关：三向量共面.例1：用定义判断线性相关性。(1)向量,,,o线性______关。(2)向量,,,线性______关。相相0,,,,,,,,:22112121mmmmkkkkkkA使得如果存在不全为零实数给定向量组定义3：A称向量组,线性相关A否则称向量组.线性无关判断线性相关性的定理至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示向量组线性相关)2(,,,21mm定理2：推论：向量组线性无关)2(,,,21mm任一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示(1)(2)n维向量组线性相关m,,,21定理3:推论：n维向量组线性无关m,,,21.0只有零解Ax12,,,mA其中.0有非零解AxmA,,,21其中解：设数123,,kkk使得1122330kkk成立。即123102012401570kkk未知量为123,,kkk系数行列式1021240157齐次线性方程组有非零解，所以向量123,,线性相关。向量12,对应分量不成比例，所以线性无关。例2已知，试讨论向量组的线性相关性。TTT)7,4,2(,)5,2,0(,)1,1,1(321321,,例3:n维向量TnTTeee1,,0,0,,0,,1,0,0,,0,121讨论它们的线性相关性.neeeE,,,21结论:线性无关解:上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.问题:n=3时,321,,eee分别是什么？证因α1，α2，…，αm，β线性相关，故有k1,…,km,km+1不全为0，使k1α1+…+kmαm+km+1β=0要证β能由α1,α2,…,αm线性表示，知须证明km+1≠0。用反证法，假设km+1=0,则k1,k2,…,km不全为0，且有k1α1+k2α2+…+kmαm=0这与α1，α2，…，αm线性无关矛盾，此矛盾说明km+1≠0。从而有1212111mmmmmkkkkkk线性相关及表示的定理定理4：向量组12:,,,mA线性无关,而向量组12:,,,,mB线性相关,则向量必能由向量组A线性表示，且表示式唯一.再证表示式的唯一性。设有两个表示式β=λ1α1+λ2α2+…+λmαmβ=k1α1+k2α2+…+kmαm两式相减，得（λ1－k1)α1+(λ2－k2)α2+…+(λm－km)αm=0因α1,α2,…,αm线性无关，所以λi－ki=0即λi=ki(i=1,2,…,m)。故表示式是唯一的。一些结论(1)单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关；(2)包含零向量的任何向量组线性相关；(4)有两个向量相等的向量组线性相关；(3)基本向量组线性无关;neee,,,21(5)n个n维向量线性无关它们所构成方阵的行列式不为零.(6)mn时，m个n维向量必线性相关.特别：m=n+1(7)n维向量空间任一线性无关组最多只能包含n向量..,)3(0)2(0)1(:两式不一定同时成立或者线性相关的充要条件是，两个向量；线性无关的充要条件是一个向量；线性相关的充要条件是一个向量试证明kk思考题已知向量123,,线性无关，122313,,证明：向量线性无关。三、练习思考题证明（１）、（２）略．（３）充分性.,,0,0,,,,即可令则不妨设得使存在不全为零的数线性相关xykxyxyxyx必要性.,,0)(1,线性相关知由定义则有不妨设kk思考题解答