谈谈微分算子

谈谈算子SCIbird适当的引入一些算子可以简洁地展现出数学结构，比如差分算子Δ定义为：()(1)()fxfxfxΔ=+−，2:()fxΔ=ΔΔ，再定义移位算子()(1)Efxfx=+，以及恒等算子()()Ifxfx=，则差分算子满足()()()fxEIfxΔ=−，即EIΔ=−容易发现()()mEfxfxm=+，所以00()()()(1)()(1)()nnknnknknkkfxEIfxEfxfxk−−==⎛⎞⎟⎜Δ=−=−=−+⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑类似地，()()()()fxIfxEfx==−Δ，()nnIIE==−Δ思考题：令()nfxx=，问()?nfxΔ=，1()?nfx−Δ=以微积分的观点看，利用拉格朗日中值定理，得1()(1)()()fxfxfxfξ′Δ=+−=然后再利用一次，得12()()()fxffξξ′′′ΔΔ=Δ=，这样()()(),(,1)nnnnfxfxxξξΔ=∈+可惜nξ的位置不知道，不过对()nfxx=有()()!nfxn=是一个常数。以拉格朗日中值定理为桥梁，将差分与微分联系起来了。实际上还可以进一步挖掘联系。算子的引入很多时候是形式算子，但发现特别好用，莫非是巧合。深入研究后发现，数学中其实没有那么多巧合，“巧合”后面往往有深层含义。这方面最具代表性的要数Laplace变换了，抛开这个吓人的专有名词，先看一个例子。考虑微分方程：(),(0)0yfxy′==.直接利用牛顿莱布尼茨积分公式，得0()()xyxftdt=∫英国工程师海维塞德思考上述方法后，提出了一个形式微分算子法，定义算子dDdx=，则微分方程可写成()Dyfx=，于是移项得：1()yfxD=对比上面的积分过程可知01xD=∫，于是002111xxDDD==∫∫等等。海维塞德将这个思想应用到一般的常系数微分方程中去，考虑方程(1)()(),(0)'(0)(0)(0)0nPyDyfxyyy−======L这里()Px是一个n次多项式。于是得到形式解1()()yfxPD=海维塞德按照自己的想法认为如果1()PD/能展开成关于1D/的幂级数，即11()kkkaPDD∞==∑则原方程的解即为111()()()kkkyfxafxPDD∞=⎛⎞⎟⎜==⎟⎜⎟⎜⎝⎠∑以一个具体的例子来说明上述方法可能更容易些。考虑微分方程：'1,(0)0yyy−==，写成算子形式(1)1Dy−=，这里约定数字1为恒等算子。则按上面的形式算子方法得到形式解（等比级数展开）1211111111111DyDDDDD⎛⎞⎛⎞⎟⎜⎟⎜⎟=⋅=⎜=+++⋅⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎟⎝⎠⎜−−⎝⎠L根据定义有0111xdtxD⋅==∫，0221111(1)2xxtdtDDD⋅=⋅==∫，…，11!nnxDn⋅=所以2011()112xxxtxyxxeedteDD⎛⎞⎟⎜⎟=+++===−⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠∫L代回原微分方程验证，它确实是一个解。受过严格数学训练的人难以接受这种魔术般的形式方法，但工程师不受此约束，只要这个方法的结果是对的即可，至于数学上的严格性不在考虑范围之内。实际上对于某些问题，这种形式微分算子方法确实比传统方法效率高。当然本文的关键的问题不是方法简洁与否，而是如此奇怪的形式算子方法为什么是对的，是巧合吗？如果不是巧合，那么很可能打开一片新的天地。历史确实如此，人们经过深入研究发现，上面的形式算子解法本质是一种积分变换，简称L-变换。L-变换一般定义为：0[()]()()ptLftftedtFp+∞−==∫这和微积分中含参数积分是一类问题，为了保证被积函数的收敛性需要对()ft和正数p（实际可以取复数）附加一些控制条件，实际中基本满足。这里避开一些琐碎数学细节方面的讨论（细节请大家查阅大学的《积分变换》教材），而直奔矛盾核心。考虑微分方程：(1)()(),(0)'(0)(0)(0)0nPyDyfxyyy−======L则根据L-变换性质，有[()](),[()](),[()]()mmLyxYpLyxpYpLfxFp===对原方程两边做L-变换得到：()()()PpYpFp=---把微分方程变换成代数方程（对比下即知道()Pp相当于形式微分算子里的()PD，这说明海维塞德的形式微分算子方法本质是L-变换）。（为对比海维塞德的方法，默认可展开成幂级数）解代数方程得到：1111()()()()()kkkkkkaYpFpFpaFpPppp∞∞==⎛⎞⎟⎜===⎟⎜⎟⎟⎜⎝⎠∑∑L-变换存在逆变换1L−，1L−也是线性变换。则依照定义1111111()[()]()[()]kkkkkkyxLYpLaFpaLFppp∞−∞−=−=⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎜⎜⎢⎥===⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎢⎥⎟⎟⎜⎜⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑∑根据L-变换的定义，直接验证不难得到01[()]()xLftdtFpp=∫反复应用上述结论，得k重积分对应的L-变换为1()kFpp，于是求逆变换得到0011[()]()xkxLFpdtftdtp−=∫∫L这正是海维塞德的形式微分算子法。注意到L-变换的每一个数学性质是有严格的数学证明的（请参考大学《数理方程》或《积分变换》教材），这就揭示了形式微分算子的数学本质。求逆变换1L−有一般的数学公式，不过要涉及复平面上的积分这里不细说了。不过比较实用的方法是对常见的函数建立L-变换表，应用时再查表（像求积分中原函数），这很像建立原函数表的方法（本质上导数表）。另外关于两个变换（像函数）乘积的逆变换，可不是原来两个原像函数的简单乘积了，而是复杂一些的“卷积”，这里不细说了。这里的L-变换即传说中的Laplace变换。根据我的了解，英国工程师海维塞德发现形式微分算子法的时候并不知道Laplace变换，而Laplace变换是数学家们为研究形式微分算子法的深层含义而“考古”时发现的。因为根据已知数学文献，法国数学家拉普拉斯（此人名声不太好）最早用过此方法（但不系统），故而得名。最后再补充一个Laplace例子，求下面n阶常系数微分方程的一个特解()xPDyeλ=我们利用L-变换求原方程的一个特解。如果λ不是多项式方程()0Pt=的根，则由xkkxDeeλλλ=，得()()xxPDePeλλλ=显然()xyePλλ=/是原方程的一个特解。如果λ是多项式方程()0Pt=的根，就麻烦些了。假设为m重根，即()()(),()0mPtQttQλλ=−≠将()xPDyeλ=化为两个微分方程，如下()()xQDfxeλ=与()()mDyfxλ−=前一个方程根据前面的讨论，知可以取()()xfxeQλλ=/，所以我们只需要求解方程()()xmDyeQλλλ−=/即可。取原方程满足(1)(0)'(0)(0)(0)0nmyyyy−−=====L的根据L-变换性质，两边求L-变换得到1()()()()mpYppQλλλ−=−L-变换的两一个重要结论是：[()]()xLefxFpλλ=−，1()!kkLxkp+=/于是得到1![]()mmxmLxepλλ+=−利用此结论解原微分方程，得1[()]!()mxxeYpmQyLλλ−==对()()()mPtQttλ=−求m阶导数，再令tλ=，得()()!()0mPmQλλ=≠于是当λ是多项式方程()0Pt=的m重根时，()xPDyeλ=的一个特解为()()()mxmxeyxPλλ=后记：L-变换求解微分方程的优点在于变微分方程为代数方程（或者变偏微分方程为常微分方程），而代数方程相对容易求解，上面的例子只是小试牛刀。当然，最后还需要做反演变换（逆变换）才行。应该说，反演变换未必简单，故L-变换很有用但也不是万能的。不过根据实践经验，L-变换在工程中还是很实用的，主要应用在信息类和电器类专业领域。从熟悉上看，L-变换还体现了所谓的RMI原理，即把一类棘手的问题A，转换为另一类问题B，B相对容易求解，解出B后再做反演变换得到A，这种迂回战术思想在很多领域都常见（不仅仅是数学）。另一方面，换个视角看，L-变换体现了数学中的“核函数”和“收敛因子法”思想，上面两种数学思想主要体现于“含参数积分类问题”，大家学习时要多留心，多注意联系。祝愿学弟学妹们学业有成，天天向上！SCIbird