北京工业大学选修《博弈论及其在管理中的应用》概念与模型(21个)

1本科生《博弈论及其在管理中的应用》概念与模型－答案1.叙述由两个人且策略集合为两个元素组成博弈的纳什均衡的定义。（20分）纳什均衡定义：用2121,;,uuSSG表示一个2人博弈，其中iS表示第i博弈方的战略集合，iu表示第i博弈方的得益函数，2,1i。（5分）如果由各个博弈方的各一个战略组成的某个战略组合),(*2*1ss中，任一博弈方i的策略*is，都是对其余博弈方策略组合*js，ij，2,1,ji，的最佳对策，（10分）也即),(),(*211*2*11ssussu对任意11Ss都成立,且),(),(2*12*2*12ssussu对任意22Ss都成立。则称),(*2*1ss为博弈G的一个“纳什均衡”。（20分）2.两人博弈:甲乙两人博弈，甲有U和D两种策略，乙有L和R两种策略，(1)若甲采取U策略,乙采取L策略,则甲乙得益分别为a和b，记为：(a，b)；(2)若甲采取U策略,乙采取R策略,则甲乙得益分别为c和d，记为：(c，d)；(3)若甲采取D策略,乙采取L策略,则甲乙得益分别为e和f，记为：(e，f)；(4)若甲采取D策略,乙采取R策略,则甲乙得益分别为g和h，记为：(g，h)。问：(i)(U，L)和(D，R)为纯策略纳什均衡的条件是什么？(ii)在(i)的条件下求该问题的混合策略纳什均衡。（20分）解：两人博弈的得益矩阵如表1所示。表1两人博弈的得益矩阵LRU(a,b)(c,d)D(e,f)(g,h)根据纯战略纳什均衡的定义可知，(i)(U，L)和(D，R)为纯策略纳什均衡的条件是ea,cg,db和fh；(1)（5分）(ii)记甲以概率选择U，以概率1选D，乙以概率选择L，以概率1选R,其中10，10。记,1和,2分别表示甲和乙的期望收益，则])1()[1(])1([,1geca])1()[1(])1([,2hdfb（10分）甲乙2记**,为纳什均衡，则根据纳什均衡定义，得0])1([)1(,1geca0])1([)1(,2hdfbdbfhfh*eacgcg*（18分）混合策略纳什均衡是：甲以概率dbfhfh选择U，以概率dbfhdb选D，乙以概率eacgcg选择L，以概率eacgea选R。（20分）3.智猪博弈（BoxedPigsGame）（20分）假设猪圈里有两头猪，一头大猪，一头小猪，猪圈的一端有一个猪食槽，另一端安装了一个按钮，控制猪食的供应。按一下按钮，将有10个单位的猪食进入猪食槽，供两头猪食用。两头猪面临两个策略的选择：自己去按按钮或等待另一头猪去按按钮。如果某一头猪做出自己去按按钮的选择，它必须付出如下代价：第一，它需要消耗相当于2个单位的成本；第二，由于猪食槽远离按钮，它将比另一头猪后到猪食槽，从而减少吃食的数量。假定：若大猪先到（小猪按按钮），大猪将吃到9个单位的猪食，小猪只能吃到１个单位的猪食；若小猪先到（大猪场按按钮），大猪将吃到6个单位的猪食，小猪吃到４个单位的猪食；若两头猪同时按按钮，大猪吃到7个单位的猪食，小猪吃到３个单位的猪食；若两头猪同时到（两头猪都选择等待），则两头猪都吃不到猪食。如表4-6所示，对应不同战略组合的支付水平，如两头猪同时按按钮，同时到达猪食槽，大猪吃到7个单位的猪食，小猪吃到３个单位的猪食，扣除2个单位的成本，支付水平分别为5和1。其他情形可以类推。问题：两头猪如何选择各自的最优战略？该模型的得益矩阵如下表4-6所示。无论大猪选择按按钮或等待，小猪选择按按钮都比等待差，这样的战略称为小猪的一个“严格劣战略”，我们首先加以剔除。在剔除小猪按按钮这一选择后的新博弈中，小猪只有等待一个选择，而大猪则有两个可供选择的战略。表2智猪博弈得益矩阵按按钮等待按按钮(5,1)(4,4)等待(9,-1)(0,0)解：在大猪这两个可供选择的战略中，选择等待对大猪是一个严格劣战略，我们小猪大猪3再剔除新博弈中大猪的严格劣策略（等待）。剩下的新博弈中只有小猪等待、大猪按按钮这一个可供选择的战略，即（按按钮，等待）是智猪博弈的最优均衡解，称为“重复剔除的占优战略均衡”。根据纳什均衡定义，它也是纳什均衡。（20分）表3猜硬币博弈得益矩阵4.猜硬币博弈设博弈方1出正面和反面的概率分别为x和1-x，博弈方2猜正面和反面的概率分别为y和1-y,那么博弈方1出正面和反面的概率x和1-x,一定要使博弈方2猜正面的期望得益和猜反面的期望得益相等,即解得,（18分）博弈方1的混合策略:以概率分别出正面和反面。博弈方2的混合策略:以概率分别猜正面和反面。（20分）5.两人定和博弈（Constant-SumGame）表4：两人定和博弈假设2号选择C的可能性为p，选择D的可能性为1-p，并且1号选择A的可能性为q，选择B的可能性为1-q。如果在给定2号的概率p和1-p之后，A和B两个选项所代表的抽彩对于1号选手来说并非等优，那么1号就应该确定地选择A和B中的一个选项。也就是说，当且仅当选A的预期价值与选B的预期值相等时（这些预期值由2号选定的策略决定），1号才会在A和B之间保持q和1-q的概率。对于图2所示的博弈，2号选手的方程是4p+1（1-p）=p+3（1-p），所以p=1/4。我们的1号选手也是一样---他只有在2号在选C和选D之间没有偏向时才会愿意给A和B一定的权重，所以q+4（1-q）=3q+2（1-q）,即q=1/2。（20分）猜硬币方盖硬币方-1,11,-11,-1-1,1正面反面正面反面3,23,21,42,32,34,1ABCD46.存在优势策略的两人零和博弈（Zero-SumGame）表5：存在优势策略的两人零和博弈CDA(4,1)(3,2)B(2,3)(1,4)（A,D）是纳什均衡。（20分）7.存在纳什均衡（NashEquilibrium）的定和博弈表6：存在纳什均衡的定和博弈DEFA(8,1)(3,6)(1,8)B(7,2)(5,4)(6,3)C(2,7)(4,5)(9,0)解：如果乙选D，那么甲最好选A；如果乙选择E，那么甲最好选B；如果乙选择F,那么甲最好选C。如果甲选A，那么乙最好选F；如果甲选择B，那么乙最好选E；如果甲选择C,那么乙最好选D。一旦两人进入（B,E）这个状态，他们谁都不想单方面地选择其他行动。（B,E）是该博弈唯一的纳什均衡。（20分）8.鹰-鸽(Hawk-Dove)博弈（20分）(1)参与人：争食的两只动物-动物1和动物2。动物1和动物2的行动空间都是一样的，即：Ai={鹰，鸽},i=1，2支付矩阵如下：表7：存在纳什均衡（NashEquilibrium）的定和博弈鹰鸽鹰(0,0)(4,1)鸽(1,4)(3,3)(2)此博弈属于完全信息静态博弈，根据奇数定理知道共有三个纳什均衡，两个纯策略纳什均衡和一个混合策略纳什均衡。解：两个纯策略纳什均衡是：(鹰，鸽)和(鸽，鹰)。混合策略纳什均衡是：动物1和动物2分别以50%的概率随机地选择鹰(象鹰一样行动)或者鸽(象鸽一样行动)。纯策略纳什均衡可以用划线法或箭头法求解。混合策略纳什均衡则可根据无差异原则求解概率分布，即：1125首先，动物1应该以q的概率选择鹰，以1-q的概率选择鸽，使得动物2在鹰或者鸽之间无差异，那么由4(1-q)=q+3(1-q)得q*=50%；其次，动物2应该以a的概率选择鹰，以1-a的概率选择鸽，使得动物1在鹰或者鸽之间无差异，那么由4(1-a)=a+3(1-a)得a*=50%。(3)此博弈实际就是一个斗鸡博弈，在现实生活许多现象都与此类似，如市场进入、前苏联与美国在世界各地争抢地盘等。（20分）9.狩猎博弈（20分）参与人是两个猎人，他们的行动是同时选择猎鹿或者猎兔。规则是：若两人同时猎鹿，则鹿被猎到且两人平均分配鹿的价值（10元）；若两人同时猎兔，则每人各获得价值1元的兔；若一人猎兔而另一人猎鹿则兔被抓到但鹿跑掉。该博弈的得益矩阵见表8所示：表8：狩猎博弈鹿兔鹿(5,5)(0,1)兔(1,0)(1,1)解：此博弈同样是一个完全信息静态博弈，参与人是两个猎人，他们的行动是选择猎鹿或者猎兔。该博弈纯策略纳什均衡为（鹿，鹿）和（兔，兔）。（5分）下面求混合策略纳什均衡，假设猎人1以概率选择猎鹿，以概率1选择猎兔，猎人2以概率选择猎鹿，以概率1选择猎兔，则猎人1的得益为]10)[1(]15[),(1(1)猎人2的得益为]10)[1(]15[),(2(2)（12分）根据(1)和(2)，可得15),(,15),(21（16分）解得最优解51**（18分）混合策略纳什均衡是：两个猎人均以51概率选择猎鹿，以54概率选择猎兔。（20分）610.库诺特寡头竞争模型（20分）○1某一市场上有n家企业，他们生产同一类产品用来满足该市场上顾客的需求；○2n家企业生产相同质量的产品；○3用iq代表企业i的生产批量，ni,,2,1，niiqQ1表示市场上总产品数，)(QVP代表逆需求函数(P是市场出清价格，即n家企业生产的产品能全部销售)，两企业的生产都无固定成本，企业i的成本函数记为)(iiqC，ni,,2,1；○4n家企业同时决策各自产品的生产批量；○5n家企业对彼此的生产成本相互了解（完全信息）。假设iiiiqcqC)(，ni,,2,1，)(1niiqaQV,其中0a为常数。问题：(i)这n家企业如何决定各自产品的生产批量？(ii)假设ccccn21，证明企业i的最优生产批量*iq和最优利润*i是市场上企业数n的单调递减函数。解：（i）企业i的最优生产批量为1,1*ncncaqnijjjii，ni,,2,1(1)（ii）企业i的最优利润为22,1*)1()(ncncanijjjii，ni,,2,1(2)（ii）n家企业各自决策的最优生产批量之和111**ncnaqQniinii(3)（iv）企业i的最优利润*i是其边际成本ic的单调递减函数，是竞争对手边际成本jc)(ij的单调递增函数。（v）假设ccccn21，则企业i的最优生产批量*iq是市场上企业数n的单调递减函数，企业i的最优利润*i是市场上企业数n的单调递减函数。（20分）711.产量决策模型（20分）○1某一市场上有3家企业，他们生产同一类产品用来满足该市场上顾客的需求；○23家企业生产相同质量的产品；○3用iq代表企业i的生产批量，3,2,1i，31iiqQ表示市场上总产品数，)(QVP代表逆需求函数(P是市场出清价格，即3家企业生产的产品能全部销售)。假设3家企业的生产都无固定成本，企业i的成本函数iiiqcqC)(，3,2,1i，2)(bQaQV，0a，0b；○43家企业同时决策各自产品的生产批量；○53家企业对彼此的生产成本相互了解（完全信息）。问题：(i)这3家企业如何决定各自产品的生产批量？他们获得的利润分别是多少？(ii)如果这3家企业合并成一家企业，则合并后企业如何决定产品的生产批量？合并后企业获得的利润是多少？(iii)试对这3家企业合并前后两种情形下的生产批量和利润进行比较，比较结果给人们什么样的启示？解：(i)企业i的利润函数为：iiiqcqqqbaqqqq])([),,(2321321，3,2,1i(4)(2)两边对iq分别求一阶和二阶偏导数，3,2,1i，得3,2,1,)()(22321321iqqqbqqqbqcaqiii(5)3,2,1,0])(2[232122iqqqqbqiii(6)企业i的最优