求极限的方法与技巧(黄玉芳)

求极限的方法与技巧（一）利用极限四则运算法则求极限例1.1求极限.分析本题属型未定式，分子、分母均为有理多项式，往往采用约分的方法，消去分子与分母的零因式.解法1原式.解法2见例1.39.例1.2求极限（其中为正整数）.分析这是含根式的型未定式，应当先将其有理化，再约去分子、分母中的零因式.解令，则当时，.原式.例1.3求极限.分析时，它是型未定式，将分子分母同除以，使之变为适合于极限四则运算法则的函数极限.解原式.例1.4设，则.（A）(B)(C)(D)解分子分母同除以.原式.故选（B）.例1.5求极限.分析当时，，，故这是型未定式，一般采用先通分的方法，然后视通分以后的极限类型再决定下一步应采取的方法.解,故通分以后将变成型未定式，可约去分子分母中的零因式求极限.原式.例1.6求极限.分析这是含有根式的型未定式，可以先将分子有理化，化为型未定式再求解.解原式例1.7求极限.分析这是型未定式，应当先将分子有理化，变为型极限，再作处理.解原式.这里，应当注意的是当函数中含有偶次根式时，若给分子、分母同除以就应当看还是.例1.8求极限.分析随着，数列的项数也趋向于无穷，而极限的运算法则：代数和的极限等于极限的代数和只对有限多个函数成立.因此,求无穷多项和的极限时应当先利用某些求和公式将其变为有限项再继续求解.解法1使用自然数前项和公式：，原式.解法2见例1.47.例1.9求极限，其中,.分析由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应当先用求积公式将其变形.解多次使用恒等式化简.当时，，而，故，从而原式.例1.10求极限，其中,，.分析分子、分母均为无穷多项的和，应当先求出其和，再求极限.解利用等比级数求和公式：.原式.（二）利用两个重要极限求极限例1.11求极限.分析分子是三角函数的差，应当先将其化成积的形式，再利用重要极限.解法1原式.解法2见例1.40.例1.12求极限.分析分子是三角函数，应当先将函数变形为重要极限的形式.解原式.例1.13求极限.分析极限中含有反三角函数，由于反三角函数的变形较不方便，故先作变量替换将其转换为三角函数，再利用重要极限.解令，则原式例1.14求极限.分析对于无穷多个因子的积的极限，应当先求出其积，再求极限.解时，；当时，因为对于充分大的正整数，有成立，所以，多次使用倍角公式，化简注意到时，,，故原式例1.15求极限（为正整数）.分析先将函数变形，然后利用幂的极限等于极限的幂与两个重要极限公式进行计算.解原式.例1.16求极限.解原式例1.17若，则.解,故.（三）利用夹逼准则求极限例1.18求极限.分析当我们无法或不易把无穷多项的和变为有限项时，可考虑使用夹逼准则.解因为，而，,故原式.例1.19求极限.分析当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，也可考虑使用夹逼准则.解法1因为.不等式两端当时都以为极限，所以原式.解法2见例1.51.例1.20设且，求极限解因为，且故,而，故由夹逼准则知原式.（四）利用单调有界准则求极限例1.21设求.有人这样解这道题的：设，对式子两边同时取极限，得，解之得.你认为他这样做对吗？解这样做是不对的.事实上，由递推公式及可推知，这个数列的极限是不存在的.例1.22设，求极限.解由，易知.根据算术平均数与几何平均数的关系，有，所以，数列有下界，即对一切有.又，所以，即数列单调减少.由单调有界准则知数列有极限.现设，则由极限的保号性知.对式子两边同时取极限得解得，即（已舍去负根）.例1.23设，求极限.分析我们同样用单调有界准则证明数列极限存在.数列单调增加是容易看出来的，但其上界却不容易估计。为此，可以先假设，并由解出，这便是数列的最小上界.解先用数学归纳法证明数列单调增加.由知，假设成立，则所以数列单调增加.再证有界性，刚才我们已求得是数列的一个上界,但这个上界形式太复杂，论证不方便，因此，将其适当放大化简为.以为数列的上界，证明就方便多了.，假设，则所以,数列有上界.由于数列单调增加有上界，所以极限存在.设，则由解得（为负根应舍去）.故.（五）利用无穷小的性质求极限例1.24求极限.解因为,根据无穷小与无穷大的关系知:在求此极限时,常有读者错误地运算如下:.错误的原因在于:当分母的极限为零时是不能用关于商的极限法则的,此时必须先求其倒数的极限,再据无穷小与无穷大的关系而得到结果.例1.25求极限.解因为,当时,是无穷小,是有界函数,故原式.例1.26求极限.解当时，，，,故原式.例1.27求极限.解令,于是.当时,并且有,故原式.(六)利用函数的连续性求极限例1.28求极限.解因为初等函数在处连续,所以原式.例1.29设,若已知,则（）.(A)1；(B)2；(C)0；(D)3.解因为为初等函数，而是的定义区间内的点，所以由已知得，故.故选(D).例1.30求极限.分析函数可看作由与复合而成，虽然在处不连续，但，而函数在连续，所以有如下求解过程.解原式.例1.31求极限.解令，当时，,故原式.例1.32求极限.分析当时，与的极限均不存在，故应先和差化积，再进一步计算.解.由于.所以，原式.例1.33求极限.解原式因为.所以原式.(七)利用导数定义求极限（第二章内容）例1.34设存在，则().(A);(B);(C);(D).解因为存在，所以原式.故选(B).例1.35设函数在处可导，求解原式例1.36求极限解法1当时,,故原式解法2注意到，根据导数定义：原式解法3见例1.38.（八）利用微分中值定理求极限（第三章内容）例1.37求极限,其中.解法1令，于是,.对在区间上使用拉格朗日中值定理，得到其中,.当时,.故原式解法2见例1.41.例1.38求极限解法1及解法2见例1.36.解法3对函数在区间上使用拉格朗日中值定理，得到其中，.当时，,故原式（九）利用洛必达法则求极限（第三章内容）例1.39求极限解法1见例1.1.解法2原式例1.40求极限解法1见例1.11.解法2连续使用两次洛必达法则：原式例1.41求极限，其中.解法1见例1.37.解法2令，则由于故原式例1.42求极限分析这是型未定式，除了可使用重要极限求其极限外，还可把型变为“”型.于是，问题归结为求“”型即型的极限.解原式由于所以原式.例1.43求极限分析这是型未定式，应当把它先变形为型或型未定式，再使用洛必达法则.究竟变为哪种类型，要根据具体情况确定.不过，当有对数函数出现时，应当把对数函数放在分子上.解原式例1.44求极限解原式由于.所以原式.(十)利用麦克劳林展开式求极限(第三章内容)例1.45求极限.分析这是型未定式,若用洛必达法则求极限,运算很繁琐.现用泰勒公式求极限.解由于分母是,故将及都展开为四阶麦克劳林展开式:,,于是从而原式.例1.46求极限分析这是时函数的极限,先作代换,就可转化为时的极限,从而可利用其麦克劳林展开式求极限,解令，于是，当时，，故利用展开式可得故原式.（十一）利用定积分定义以及性质求极限（第五章内容）例1.47求极限.解法1见例1.8.解法2对和式变形如果要将其看作积分和，应当选被积函数为.又由分点与当时分别趋于0和1知，积分区间应为.于是将区间等分，取为区间的左端点，这样，与函数相应的积分和正是上式.由于函数在上连续，故可积，从而原式例1.48求极限.解从和式看，若选被积函数为，则因分点与当时分别趋于与，故积分区间为.将等分，则有，从而有原式.例1.49求极限.分析这是无穷多个因子的积的极限，由于无法将其积表示成有限个因子，故不妨通过取对数，将其变为无穷多项的和，进而利用定积分求出极限.解原式.例1.50求极限.分析函数中含有变上限的定积分，且极限属型未定式，故可利用洛必达法则及变上限函数的导数公式求极限.解原式=（十二）利用级数收敛的必要条件求极限（第十一章内容）例1.51求极限.解法1见例1.19.解法2令，显见.考虑正项级数，因为,由比值审敛法知级数收敛.故.(十三)利用幂级数的和函数求极限(第十一章内容)例1.52求极限.分析若构造幂级数,则所求极限恰好是此级数的和函数在处的值.解考虑幂级数,由于.故当时,该级数收敛.设,于是从而原式.