数乘向量

§3从速度的倍数到数乘向量3.1数乘向量1.向量加法的三角形法则2.向量加法的平行四边形法则特点:首尾相接，首尾连特点:共起点ACBbaab.a+bABDCbaaa+bbo.BA3.向量的减法特点：共起点，连终点，方向指向被减向量ababba1.在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速.经测量，光速大小约为声速的8.7×105倍.t一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式可知，它在末和末的速度，大小分别为和显然并且方向都是竖直向下1221v=gt1s2sv=9.8m/sv=19.6m/s.v=2v,..2由以上两个实例可以看出，实际中存在方向相同、大小之间存在倍数关系的两个向量，因此有必要研究实数与向量积的运算.1.理解、掌握向量数乘运算及其几何意义.（重点）2.掌握数乘运算的运算律.（重点）3.掌握向量共线的判定定理和性质定理.（难点）BCNMQPOA探究点1数乘向量思考1：.，思考2：向量与向量有什么关系？向量与向量有什么关系？提示：3aa3aa1.向量的方向与的方向相同，向量的长度是的长度的3倍，即3aa3aa|3a|3|a|.2.向量的方向与的方向相反，向量的长度是的长度的3倍，即3aa3aa|3a|3|a|.向量的数乘运算它的长度和方向规定如下：一般地，实数λ与向量的积是一个向量，记作这种运算叫作向量的数乘运算.λa.a特别地，当λ=0时方向任意.λa0,思考3：数乘向量依然是向量,它的方向由谁决定?提示:由λ和向量的方向共同决定.思考4：数乘向量的几何意义.提示:是把向量沿的方向或的反方向伸长或压缩，具体为：aaaa①当|λ|＞1时，有|λ|＞||，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍，②当0＜|λ|＜1时，有|λ|＜||，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(-1＜λ＜0)上缩短为原来的|λ|倍.aaaa探究点2数乘向量的运算律1.根据定义，求作向量和，并作比较.3(2a)6a(a0)结论：3(2a)6a2.数乘向量的运算律:设为向量，λ，μ为实数，则有：ab,结合律第一分配律第二分配律λ(μa)(λμ)aλ(ab)λaλb(λμ)aλaμa解：向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫作向量的线性运算.对于任意的向量以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有ab,1212λ(μaμb)λμaλμb计算：【变式练习】探究点3共线向量判定定理和性质定理思考1:如果那么向量与是否共线？bλa,ab向量共线的判定定理是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得则向量与非零向量共线.bλa.aba(a0)rr且当与同方向时，有abba;λ当与反方向时，有b,λaab所以始终有一个实数λ，使bλa.思考2：如果非零向量与共线，那么是否有实数λ,使abbλa?向量共线的性质定理若向量与非零向量共线，则存在一个实数λ，使得babλa.思考3：(1)为什么要是非零向量？若是零向量时，λ不唯一.(2)可以是零向量吗？ab可以.ACBDE,PCAB证明：如题干图，因为向量与向量共线，根据向量共BCBA1.在△ABC中，AB=a，AC=b，且BD=2DC，则AD等于（）A．a+bB．a+bC．a+bD．a+b1313231313232323DD2.若AP=PB，AB=λBP，则实数λ的值是（）A．B．-C．D．-1343343443ba解：作图如右图依图猜想:A，B，C三点共线OABCabbb又AB与AC有公共点A,所以A，B，C三点共线.