常用不等式-放缩技巧

一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ:13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0a1)ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式e∏i=-1(i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑aibi)2≤∑ai2∑bi24:︱sinnx︱≤n︱sinx︱5;(a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+bp(0p1)(a+b)p≥ap+bp(p1)6:(1+x)n≥1+nx(x-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi若a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n√n;3：n！【(n+1/2)】n4：nn+1(n+1)nn！≥2n-15：2！4！…(2n)！｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)若小的地方，什么人都能遇见，却遇不见俄想遇见的人。