[研究生入学考试]高等代数知识点总结

总结高等代数多项式线性代数矩阵向量方程组计算多项式一元多项式多元多项式2基本概念：次数：最基本的概念和工具整除：多项式之间最基本的关系带余除法：最基本的算法，判断整除.最大公因式：描述多项式之间关系的复杂程度互素：多项式之间关系最简单的情形既约多项式：最基本的多项式根：最重要的概念和工具一元多项式3重要结论：•带余除法定理对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)degg(x).•最大公因式的存在和表示定理任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)•互素f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.4•因式分解唯一定理次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一.•标准分解定理每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是非零常数,p1,…,pt,是互不相同的首一既约多项式,n1,…,nt是正整数.进一步,a,p1,…,pt,n1,…,nt由f唯一确定.11tnntfapp•重因式f无重因式当且仅当f与其导式互素.5代数学基本定理：下列陈述等价，1.复数域上次数≥1的多项式总有根2.复数域上的n次多项式恰有n个根3.复数域上的既约多项式恰为一次式4.复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积.5.实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二次式6.实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次式之积6•实数域上的标准分解定理在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是f的常数项,x1,…,xt是f全不互不相同的根,p1,…,pt是互异、首一、无实根的二次式.•复数域上的标准分解定理在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是f的常数项,x1,…,xt是f全部互不相同的根,n1,…,nt分别是这些根的重数.11()()tnntfaxxxx1111()()stmnmnstfaxxxxpp7多项式作为函数：•两个多项式相等(即对应系数相同)它们作为函数相等(即在每点的函数值相等)它们在k+1个点的函数值相等，这里k是它们次数的最大者.•设f(x)＝anxn+...+a1x+a0，若f(x)在n+1个点的函数值为0，则f(x)恒等于0.8•Eisenstein判别法：设是整系数多项式，若有素数p使得则f(x)是有理数域上的既约多项式.•有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常数项10()nnfxaxaxa2100,|,...,,|||nnpappapaa9重要结论命题1.8.1若多项式的值全为0，则该多项式必为0.命题1.8.2每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多项式之和，fn≠0，且其中fi是0或i次齐次多项式，0≤i≤n，fi称为f的i次齐次分量.基本概念：次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式多元多项式01nffff对称多项式基本定理每个对称多项式，都可唯一地表示成初等对称多项式的多项式.10矩阵运算行列式初等变换和标准形特殊矩阵11运算及其关系转置取逆伴随行列式秩数加法(A+B)T=AT+BTr(A+B)≤r(A)+r(B)数乘(kA)T=kAT(kA)1=k1A1(kA)*=kn1A*|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k≠0)乘法(AB)T=BTAT(AB)1=B1A1(AB)*=B*A*|AB|=|A||B|r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A),r(B)转置(AT)T=A(AT)1=(A1)T(AT)*=(A*)T|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆(A1)1=A(A1)*＝(A*)1|A1|=|A|1伴随(A*)*=|A|n2A*|A*|=|A|n1n,若r(A)=nr(A*)=1,若r(A)=n-10,若r(A)n-1其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|E当A可逆时，A*＝|A|A1定义性质若P,Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)12转置取逆伴随加法(A+B)T=AT+BT数乘(kA)T=kAT(kA)1=k1A1(kA)*=kn1A*乘法(AB)T=BTAT(AB)1=B1A1(AB)*=B*A*转置(AT)T=A(AT)1=(A1)T(AT)*=(A*)T取逆(A1)1=A(A1)*＝(A*)1伴随(A*)*=|A|n2A*其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|I当A可逆时，A*＝|A|A113行列式秩数加法r(A+B)≤r(A)+r(B)数乘|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k≠0)乘法|AB|=|A||B|r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A),r(B)转置|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆|A1|=|A|1伴随|A*|=|A|n1n,若r(A)=nr(A*)=1,若r(A)=n10,若r(A)n1其它定义性质若P,Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)14性质公式备注转置不变性|AT|=|A|行列地位平等反交换性|.........|=|.........|换法变换交错性|.........|=0齐性|...k...|=k|.......|倍法变换统称线性加性|...+...|=|......|+|......|倍加不变性|...+k......|=|.........|消法变换按第k行第k列展开|aij|=ak1Ak1+…+aknAkn=a1kA1k+…+ankAnkaj1Ak1+…+ajnAkn=a1jA1k+…+anjAnk=jk|aij|Laplace定理分块三角矩阵的行列式Cauchy-Binet公式Vandermonde行列式定义性质；11111||kkkAAjjkkiiiiAjjjj式代余式111-------||--------mmUViimiiUVii式式1511111||kkkAAjjkkiiiiAjjjj式代余式Laplace定理(按第i1,...,ik行展开)0*||||*0AAABBB0*(1)||||*0mnAAABBB；分块三角形行列式16111-------||--------mmUViimiiUVii式式Cauchy-Binet公式设U是m×n矩阵,V是n×m矩阵,m≥n,则171222212111111111()0,...,jnnnjiinnnnnxxxVxxxxxxxxVxx互不相同18初等变换行变换列变换换法变换倍法变换消法变换1011011111c1111c对单位矩阵做一次初等变换对A做一次行变换=用相应的初等矩阵左乘以A对A做一次列变换=用相应的初等矩阵右乘以A19•对于m×n矩阵A，B下列条件等价1.AB，即A可由初等变换化成B2.有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B3.秩A=秩B4.A，B的标准型相同•A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB•每个矩阵都行等价于唯一一个RREF矩阵•A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ•每个秩数为r的矩阵都等价于000rI矩阵等价20可逆矩阵vs列满秩矩阵对于n阶矩阵A,下列条件等价1.A是可逆矩阵2.|A|03.秩A=n4.有B使得AB=I或BA=I5.A是有限个初等矩阵之积6.A(行或列)等价于I7.A的列(行)向量组线性无关8.方程组Ax=0没有非零解9.对任意b,Ax=b总有解10.对某个b,Ax=b有唯一解11.A是可消去的(即由AB=AC或BA=CA恒可得B=C)对于m×r矩阵G,下列条件等价1.G是列满秩矩阵,2.G有一个r阶的非零子式3.秩G=列数4.G有左逆,即有K使得KG=I5.有矩阵H使得(G,H)可逆6.G行等价于7.G的列向量组线性无关8.方程组Gx=0没有非零解9.对任意b,若Gx=b有解则唯一10.对某个b,Gx=b有唯一解11.G是左可消去的(即由GB=GC恒可得B=C)0rI21设A的秩数为r,则A有如下分解1.,其中P,Q为可逆矩阵2.A=PE,其中P可逆,E是秩数为r的RREF3.A=GH,其中G列满秩,H行满秩,且秩数都是r(满秩分解)矩阵分解000rAPQI221.分块矩阵的初等变换和Schur公式•把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵•Schur公式设A可逆两种常用方法1111111IOABABCDCAIODCABAOABIABCDOIBDCABIOAOABIABCDOICAIODCAB适用例子:习题3.7.5;3.7.9~11:232.正则化方法①证明当A可逆时结论成立②考虑xI+A,有无穷多个x使得该矩阵可逆③将要证明的结论归结为多项式的相等④若两个多项式在无穷多个点处的值相同,则这两个多项式在任意点的值相等,特别地,取x=0.适用例子:习题3.6.4;3.7.7;3.7.11:24特殊矩阵三角正规可逆←对合↗↖Hermite反Hermite酉矩阵幂等幂零对称反对称正交↗对角纯量25向量线性关系线性相关线性无关线性表示等价极大无关组秩数26线性表示：•列向量组1,...,r可由1,...,s线性表示当且仅当有矩阵C使得(1,...,r)=(1,...,s)C.进一步，C的第k列恰为k的表示系数•线性表示有传递性•被表示者的秩数≤表示者的秩数向量组等价：对于向量组S，T，下列条件等价1.S和T等价，即S,T可以互相表示2.S,T的极大无关组等价3.S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示27线性相关与线性表示：•1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示•若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则可由1,...,r线性表示,且表法唯一线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价•1,...,r线性无关•当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0•当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0•1,...,r的秩数等于r•(1,...,r)是列满秩矩阵28极大无关组与秩数：1.1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当①1,...,r线性无关②S的每个向量都可由1,...,r线性表示2.秩S＝极大无关组中向量的个数3.若秩S＝r,则任何r个无关的向量都是极大无关组4.矩阵的秩数＝行向量组的秩数＝列向量组的秩数5.向量组向量空间解空间极大无关组基底基础解系秩数维数n－r29向量空间•向量空间：加法和数乘封闭的向量集合•基底：向量空间的极大无关组•维数：向量空间的秩数•行空间：矩阵的行向量组张成的向量空间•列空间：矩阵的列向量组张成的向量空间•行空间与列向量的维数都等于矩阵的秩数•对于矩阵m×n矩阵A，B，下列条件等价①A,B行等价②A,B的行空间相同③A,B的行向量组等价④A,B的列向量组线性关系一致⑤Ax=0和Bx=0同解30线性方程组线性方程组的表示•方程式：•矩阵式：Ax=b,其中A=(aij)m×n,x=(xi)n×1,b=(bi)m×1•向量式：x11+...+xnn=b,其中i是xi的系数列111122