第七章平面向量7.4.1向量的内积【教学目标】1.理解并掌握平面向量内积的基本概念,会用已知条件来求向量的内积.2.掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题.3.通过教学,渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点.【教学重点】平面向量内积的概念,平面向量内积的基本性质及运算律.【教学难点】平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解.【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法,引导学生分析归纳,形成概念.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入一个物体在力F的作用下产生了位移s,那么力F所做的功应当怎样计算?力做的功为W=∣s∣∣F∣cosθ,其中是F与s的夹角.∣F∣cosθ是F在物体前进方向上分量的大小.∣s∣∣F∣cosθ称为位移s与力向量F的内积.教师提出问题.并简单讲解什么是功,让学生对功有个基本了解.师生共同计算这个力所做的功.我们知道,功只有大小,没有方向,它由力和位移两个向量来确定,这给我们一种启示,能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢?引出课题.此引例体现了数学知识与其他学科的联系,让学生了解所学内容在实际生活中的具体应用.新课1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作→OA=a,→OB=b,则∠AOB叫向量a与b的夹角.记作‹a,b›,规定0≤‹a,b›≤180.说明:(1)当‹a,b›=0时,a与b同向;(2)当‹a,b›=180时,a与b反向;(3)当‹a,b›=90时,a与b垂直,记做a⊥b;学生阅读课本,讨论并回答教师提出的问题:(1)当‹a,b›=0和180º时a与b的方向是怎样的?(2)当‹a,b›=90时,a与b的方向又是怎样的?师生共同总结,师重点强调说明(4).此问题是为本课重点向量的内积概念而准备.通过问题的详细探究给出概念,比直接给出更符合学生的特点,容易被学生接受.sF数学基础模块下册新课(4)在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.2.向量的内积已知非零向量a与b,‹a,b›为两向量的夹角,则数量|a||b|cos‹a,b›叫做a与b的内积.记作a·b=|a||b|cos‹a,b›.规定:0向量与任何向量的内积为0.说明:(1)两个向量的内积是一个实数,不是向量,可以是正数、负数或零,符号由cos‹a,b›的符号所决定;(2)两个向量的内积,写成a·b,符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.例1求|a|=5,|b|=4,‹a,b›=120.求a·b.解由已知条件得a·b=|a||b|cos‹a,b›=5×4×cos120=-10.3.向量的内积的性质设a,b为两个非零向量,e是单位向量,则:(1)a·e=e·a=∣a∣cos‹a,e›;(2)aba·b=0;(3)a·a=|a|2或|a|=a·a;(4)∣a·b∣≤∣a∣∣b∣.4.向量的内积的运算律(1)交换律:a·b=b·a;(2)结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.教师直接给出向量内积的基本表达式.教师引导学生学习向量内积的概念.学生阅读课本中向量内积的概念,在理解的基础上记忆向量内积的概念.教师总结向量内积的含义,以及公式中的注意事项.学生讨论求解.学生阅读课本中向量内积的性质,在理解的基础上记忆向量内积的性质.教师对于每一个性质都要引领学生从向量内积的表达式入手,仔细推导.教师引导学生学习向量内积的运算律.让学生明确内积满足交换律和分配律,不满足结合律.比如,实数乘法满足在本节中首次引入了抽象的向量内积,学生往往只接受具体的基本表达式,而不能接受a·b的含义,所以应让学生从符号的含义开始认识,这部分教师必须讲解清楚.求内积题目不必过难,重点在理解内积的概念.两向量的内积是两向量乘法的一种,是学生以前所未接触过的,与以前数量间的乘法、实数与向量间的乘法有很大区别,因此运算法则、运算律都要重新推导,学生对于概念和运算法则的理解和掌握有些困难.它与实数乘法的概念,性质第七章平面向量新课例2求证:(1)(a+b)·(a-b)=∣a∣2-∣b∣2;(2)∣a+b∣2+∣a-b∣2=2(∣a∣2-∣b∣2).证明(1)显然(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=∣a∣2-∣b∣2;(2)因为∣a+b∣2=(a+b)·(a+b)=∣a∣2+2a·b+∣b∣2,∣a-b∣2=(a-b)·(a-b)=∣a∣2-2a·b+∣b∣2,所以∣a+b∣2+∣a-b∣2=2(∣a∣2-∣b∣2).练习1.已知|a|,|b|,‹a,b›,求a·b:(1)|a|=7,|b|=12,‹a,b›=120°;(2)|a|=8,|b|=4,‹a,b›=π;2.已知|a|,|b|,a·b,求‹a,b›:(1)|a||b|=16,a·b=-8;(2)|a||b|=12,a·b=63.结合律:(a·b)·c=a·(b·c),而向量的内积不满足;又如实数乘法满足:a·c=b·ca=b,而向量的内积不满足这种推出关系.学生分组讨论证明的方法;小组讨论后,教师对学生的回答给以补充、完善,师生共同总结解答方法.教师给出具体的证明步骤.师生合作共同完成.及运算律有联系也有区别,这一区别是教学的重点也是学生学习的难点.通过例2可让学生加深对结合律与运算律的理解.通过学生讨论,老师点拨,可以突出解题思路,深化解题步骤,分解难点.学习新知后紧跟练习,有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容.有利于教师检验学生的掌握情况.小结本节课我们主要学习了平面向量的内积,常见的题型主要有:(1)直接计算内积;(2)由内积求向量的模;(3)运用内积的性质判定两向量是否垂直;(4)性质和运算律的简单应用.学生阅读课本,畅谈本节课的收获,老师引导梳理,总结本节课的知识点.梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结.数学基础模块下册作业教材P54练习A组第2题(1)(3),第3题(1)(2);(选做)练习B组第1题.巩固拓展.
本文标题:向量的内积教学设计
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