数值分析实验题作业

数值分析实验报告姓名：魏汝明院系：土木工程与力学学院学号：M201173052一、实验1.1（病态问题）1、实验要求：考虑一个高次的代数多项式：201()(1)(2)(20)()kpxxxxxk(E.1.1)显然该多项式的全部根为1，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的(也称为简单的)。现考虑该多项式的一个扰动19()0pxx(E.1.2)其中，是一个非常小的数。这相当于是对方程(E.1.1)中19x的系数作一个小的扰动。比较方程(E.1.1)和方程(E.1.2)根的差别，从而分析方程(E.1.1)的解对扰动的敏感性。2、实验步骤与结果分析：(一)实验源程序clcresult=inputdlg({'请输入扰动项:在[020]之间的整数:'},'charpt1_1',1,{'19'});Numb=str2num(char(result));if((Numb20)|(Numb0))errordlg('请输入正确的扰动项:[020]之间的整数!');return;endresult=inputdlg({'请输入(01)之间的扰动常数:'},'charpt1_1',1,{'0.00001'});ess=str2num(char(result));ve=zeros(1,21);ve(21-Numb)=ess;root=roots(poly(1:20)+ve);x0=real(root);y0=imag(root);plot(x0',y0','*');gridontitle('根值位置图')disp(['对扰动项',num2str(Numb),'加扰动',num2str(ess),'得到的全部根为:']);disp(num2str(root));(二)实验结果分析对于x19项的扰动ess，不同的取值对应的结果如下所示：①对扰动项19加扰动1e-010得到的全部根为：19.9961，19.0257，17.9085，17.1508，15.7982，15.181，13.8995，13.0571，11.9753，11.0109，9.99608，9.00111，7.99978，7.00003，6，5，4，3，2，1②对扰动项19加扰动1e-009得到的全部根为：19.952，19.2293，17.6573+0.692896i，17.6573-0.692896i，15.4524+0.875524i，15.4524-0.875524i，13.3527+0.486992i，13.3527-0.486992i，11.8578，11.0427，9.9916，9.00201，7.99952，7.00009，5.99999，5，4，3，2，1③对扰动项19加扰动1e-007得到的全部根为：20.422+0.999203i，20.422-0.999203i，18.1572+2.4702i，18.1572-2.4702i，15.3149+2.69865i，15.3149-2.69865i，12.8466+2.06246i，12.8466-2.06246i，10.9216+1.10366i，10.9216-1.10366i，9.56629，9.11508，7.99387，7.00027，6，5，4，3，2，1④对扰动项19加扰动1e-005得到的全部根为：22.5961+2.3083i，22.5961-2.3083i，18.8972+5.00563i，18.8972-5.00563i，14.9123+4.95848i，14.9123-4.95848i，12.0289+3.73551i，12.0289-3.73551i，10.059+2.33021i，10.059-2.33021i，8.63828+1.0564i，8.63828-1.0564i，7.70896，7.028，5.99942，5.00001，4，3，2，1根在复平面上的位置如图所示：图ess=1e-010图ess=1e-009图ess=1e-007图ess=1e-005从实验的图形中可以看出，当ess充分小时，方程E.1.1和方程E.1.2的解相差很小，当ess逐渐增大时，方程的解就出现了病态解，这些解都呈现复共轭性质。并且，病态解首先出现在x=16这个解附近，如ess=1e-009时，x=20，19，12，11，…，2，1的解基本误差不大。在x=16附近，扰动后的解偏离实轴程度较严重，随着ess的增大，扰动对解的影响从x=16附近开始向两边波及，并且偏离实轴的幅度越来越大。x=0,1，2,3,4,5这些阶次较小的解对x19上的扰动最不敏感。(2)将扰动项加到x18上后，ess=1e-009时方程的解都比较准确，没有出现复共轭现象。ess=1e-008时误差与x19(ess=1e-009)时相当，即扰动加到x18上比加到x19小一个数量级。对x8的扰动ess=1000时没有出现复共轭，误差很小；对x的扰动ess=10e10时没有出现复共轭，误差很小。因此，扰动作用到xn上时，n越小，扰动引起的误差越小。二、实验2.2（样条插值的收敛）1.实验要求①通过对实验2.1中的三个函数进行三次样条插值，将分析所得的结果与Lagrange多项式插值进行对比。实验步骤与结果分析①：(一)实验源程序clcpromps={'选择函数，若选f(x),输入f,若选h(x),输入h,若选g(x),输入g'};titles='charpt_2';result=inputdlg(promps,'charpt2',1,{'f'});Nb_f=char(result);if(Nb_f~='f'&Nb_f~='h'&Nb_f~='g')errordlg('函数选择有误！');return;endresult=inputdlg({'请输入插值结点数N:'},'charpt_2',1,{'10'});Nd=str2num(char(result));if(Nd1)errordlg('结点输入错误！');return;end%手动输入插值结点switchNb_fcase'f'f=inline('1./(1+25*x.^2)');a=-1;b=1;case'h'f=inline('x./(1+x.^4)');a=-5;b=5;case'g'f=inline('atan(x)');a=-5;b=5;end%利用switch条件语句进行条件循环计算x0=linspace(a,b,Nd+1);y0=feval(f,x0);x=a:0.1:b;cs=spline(x0,y0);y=ppval(cs,x);plot(x0,y0,'o',x,y,'k--');xlabel('x');ylabel('y=f(x)oandy=Spline(x)-');gridontitle('插值曲线图')(二)实验结果分析实验结果如图所示：f(x),n=5f(x),n=10f(x),n=20f(x),n=30h(x),n=5h(x),n=10h(x),n=20h(x),n=30g(x),n=5g(x),n=10g(x),n=20g(x),n=30通过以上各图可以看出，三次样条插值随着插值结点的增加，由于其采用了分段三次多项式拟合的方法，因此，在插值过程中没有出现振荡现象。2.实验要求②样条插值思想最早产生于工业部门，如表，某汽车制造商用三次样条插值设计车门曲线，其中一段数据如表所示：表2.21xk012345678910yk0.00.791.532.192.713.033.272.893.063.193.29yk’0.80.2实验步骤与结果分析②：(一)实验源程序：clcx0=0:10;y0=[0.00.791.532.192.713.033.272.893.063.193.29];%输入原始数据x=0:0.1:10;pp=csape(x0,y0,'complete',[0.80.2]);y=ppval(pp,x);plot(x0,y0,'*',x,y,'k--');xlabel('x');ylabel('y=f(x)oandy=Spline(x)-');gridonlegend('原始数据','车门设计曲线')title('车门设计曲线图')(二)实验结果分析图2.21车门设计曲线三、实验3.1（多项式最小二乘拟合）1、实验要求编制以函数nkkx0为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对表3.11中的数据作3次多项式最小二乘拟合。表3.11xi-1.0-0.50.00.51.01.52.0yi-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552取权函数1i，求拟合曲线**0nkkkx中的参数k、平方误差2，并作离散数据iiyx,的拟合函数的图形。2、实验步骤与结果分析：（一）实验源程序clcx0=-1:0.5:2;y0=[-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552];%输入原始数据n=3;alph=polyfit(x0,y0,n);y=polyval(alph,x0);R=(y0-y)*(y0-y)';%作3次多项式最小二乘拟合%计算得到平方误差x=-1:0.01:2;y=polyval(alph,x);plot(x0,y0,'ro',x,y,'b--');xlabel('x');ylabel('y0andy');gridon;legend('原始数据','3次多项式拟合曲线')title('3次多项式最小二乘拟合')%输出曲线拟合图disp(['平方误差:',num2str(R)])disp(['参数alph:',num2str(alph)])%输出平方误差及参数alph(二)实验结果分析平方误差:2.1762e-005参数alph:1.9991-2.9977-3.9683e-0050.54912拟合曲线如下图所示：图3.11多项式最小二乘曲线拟合图