图形运动中的函数关系问题

第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1由比例线段产生的函数关系问题课前导学（一）图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为(3,4)，点B是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式．类型二，图形的翻折．已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式．图1图2由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．课前导学（二）图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题．计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值．关于面积的最值问题，有许多经典的结论．例1，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大．例2，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小．例3，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆．例4，如图1，锐角△ABC的内接矩形DEFG的面积为y，AD＝x，当点D是AB的中点时，面积y最大．例5，如图2，点P在直线AB上方的抛物线上一点，当点P位于AB的中点E的正上方时，△PAB的面积最大．例6，如图3，△ABC中，∠A和对边BC是确定的，当AB＝AC时，△ABC的面积最大．图1图2图3例12014年湖南省常德市中考第26题如图1，图2，已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P，作PE⊥AD（或延长线）于E，作PF⊥DC（或延长线）于F，作射线BP交EF于G．（1）在图1中，正方形ABCD的边长为2，四边形ABFE的面积为y，设AP＝x，求y关于x的函数表达式；（2）GB⊥EF对于图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图2证明：△FGC∽△PFB．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“14常德26”，拖动点P在射线AC上运动，可以体验到，EM和FN把正方形ABCD分割成了两个正方形和两个全等的矩形，B、C、G、F四点共圆．思路点拨1．四边形ABFE可以用大正方形减去两个直角三角形得到．2．画直线EP、FP，把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形．图文解析（1）如图3，延长EP交BC于M，延长FP交AB于N，那么四边形AEPN和四边形CFPM是正方形．由AP＝x，可得正方形AEPN的边长为22x．所以FC＝DE＝222x．由于S△DEF＝12DFDE＝122(2)222xx，S△BCF＝12BCFC＝122(2)22x，所以y＝S四边形ABFE＝S正方形ABCD－S△DEF－S△BCF＝4－22(2)42xx－2(2)2x＝21+24x．图3图4（2）如图4，因为tan∠EFP＝PEPF，tan∠PBN＝NPNB，且PE＝NP，PF＝NB，所以∠EFP＝∠PBN．又因为∠1＝∠2，∠1＋∠PBN＝90°，所以∠2＋∠EFP＝90°．所以GB⊥EF．（3）如图5，由于GB⊥EF，∠BCF＝90°，所以B、C、G、F四点共圆．所以∠FCG＝∠PBF，∠CGB＝∠CFB．又因为∠CGF＝∠CGB＋90°，∠BFP＝∠CFB＋90°，所以∠CGF＝∠BFP．所以△FGC∽△PFB．图5图6图7考点伸展如图6，由于tan∠EFP＝tan∠PBN，所以∠EFP＝∠PBN．又因为∠PBN＋∠1＝90°，所以∠EFP＋∠1＝90°．因此这种情况下，依然有BG⊥EF．第（1）题还有更简便的割补办法：如图7，连结EN．由于S四边形NBFE＝S△ENF＋S△BNF＝11()222NFEPMPNFEM，S△AEN＝221144APx，所以y＝S四边形ABFE＝S四边形NBFE＋S△AEN＝21+24x．例22014年湖南省湘潭市中考第25题如图1，△ABC为等边三角形，边长为a，点F在BC边上，DF⊥AB，EF⊥AC，垂足分别为D、E．（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a＝4，设BF＝m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取得最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF＝32，求此圆的直径（用含a的式子表示）．图1动感体验请打开几何画板文件名“14湘潭25”，拖动点F在BC上运动，观察S随m变化的图像，可以体验到，当F运动到BC的中点时，S取得最大值．还可以看到，圆的直径就是直角三角形AEF的斜边．思路点拨1．用割补法求四边形ADFE的面积比较简单．2．当A、D、F、E四点共圆时，由于∠EDF＝∠EAF，那么在△ACF中，两角及夹边就是确定的，可以解这个三角形．图文解析（1）如图1，因为∠B＝∠C＝60°，∠BDF＝∠CEF＝90°，所以△BDF∽△CEF．（2）如图2，当等边三角形ABC的边长a＝4时，S△ABC＝43．在Rt△BDF中，∠B＝60°，BF＝m，所以12BDm，32FDm．所以S△BDF＝12BDFD＝238m．在Rt△CEF中，∠C＝60°，CF＝4－m，所以1(4)2CEm，3(4)2FEm．所以S△CEF＝12CEFE＝23(4)8m．因此S＝S四边形ADFE＝S△ABC－S△BDF－S△CEF＝223343(4)88mm＝233234mm＝23(2)334m．所以当m＝2时，S取得最大值，最大值为33．此时点F是BC的中点（如图3）．（3）如图4，由于A、D、F、E四点共圆，所以∠EAF＝∠EDF．因为∠AEF＝90°，所以AF是圆的直径．在Rt△EAF中，由于tan∠EAF＝EFEA＝32，设EF＝3x，EA＝2x．在Rt△ECF中，∠C＝60°，所以3EFEC．因此EC＝x．由AC＝EA＋EC＝a，得2x＋x＝a．所以x＝13a．所以在Rt△EAF中，EF＝33a，EA＝23a，由勾股定理，得圆的直径AF＝73a．图2图3图4考点伸展第（2）题也可以求△ADF与△AEF的面积和．由于12BDm，32FDm，所以AD＝142m，S△ADF＝3(8)8mm．由于1(4)2CEm，3(4)2FEm，所以AE＝122m，S△AEF＝23(16)8m．因此S＝S△ADF＋S△AEF＝233(8)(16)88mmm＝233234mm．例32014年湖南省郴州市中考第25题如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，BC＝16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE＝1cm，点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动．以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S．当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连结DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？图1动感体验请打开几何画板文件名“14郴州25”，拖动点N在BC上运动，可以体验到，重叠部分是正方形存在两种情况，等腰三角形CPD也存在两种情况．思路点拨1．用含t的式子把直线BC上的线段长都表示出来．2．重叠部分的图形是正方形，临界时刻是点H落在AB上，和点G落在AC上．3．等腰三角形CPD不存在DP＝DC的情况，因为以DC为半径的圆D与线段AC只有一个交点．图文解析（1）如图2，当点G刚好落在线段AD上时，DN＝0．而DN＝BD－BM－MN＝4－t－1＝3－t，所以3－t＝0．解得t＝3．图2图3（2）重叠部分的图形是正方形，存在两种情况：①当HM在AD的左侧时，正方形MNGH的大小不变，边长为1，S＝1．如图3，当H落在AB上时，BM＝HMtan30°＝33．所以33≤t＜4．②如图4，当HM在AD上时，正方形的边长为t－3，S＝(t－3)2．如图5，当G落在AC上时，AH＝HGtan30°＝3(3)3t．由AD＝43，得3(3)(3)433tt．解得633t．所以4≤t≤633．图4图5（3）等腰三角形CPD存在两种情况：①如图6，当PC＝PD时，点P在DC的垂直平分线上，N是DC的中点．此时t＝3＋6＝9．②如图7，当CP＝CD＝12时，在Rt△CPN中，由cos30°＝32CNCP，得63CN．此时t＝1563．图6图7考点伸展当点G落在AC上时，CG∶AG的比值是多少呢？如图5，cot303CGCNCNAGDNGN．例42015年湖南省常德市中考第25题如图1，曲线y1是抛物线的一部分，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且表达式为213(23)3yxx（x≤3），曲线y2与曲线y1关于直线x＝3对称．（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式；（2）过点C作CD//x轴交曲线y1于点D，连结AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15常德25”，拖动点P运动，可以体验到，由于M、N两点间的水平距离是定值，因此当PE最大时，△PMN的面积最大．思路点拨1．由A、C、D的坐标可以得到△ACD是底角为30°的等腰三角形，于是可知直线MN（直线CN）与y轴的夹角为30°．2．过点P作x轴的垂线交MN于E，那么△PMN分割为有公共底边PE的两个三角形，这两个三角形的高的和为定值．图文解析（1）由2133(23)(1)(3)33yxxxx，得A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)．因为A(－1,0)、B(3,0)关于直线x＝3的对称点为A′(7,0)、B(3,0)，所以抛物线y2的表达式为2233(7)(3)(1021)33yxxxx（x＞3）．（2）由CD//x轴，可知C、D关于抛物线y1的对称轴x＝1对称，所以D(2,3)．如图2，由A(－1,0)、C(0,3)、D(2,3)，可得AC＝DC＝2．因此点C在AD的垂直平分线上．如果四边形ACDM的对角线互相垂直平分，那么四边形ACDM是菱形，此时点M在x轴上，不在抛物线y2上．因此只存在MC垂直平分AD的情况．图2图3如图2，如图3，过点A、M分别作x轴的垂线，与直线CD分别交于点G、H，那么∠ADG＝∠CMH．由于tan∠ADG＝AGDG＝33，所以∠ADC＝30°．因此3MHCH．设M23103(,+73)33xxx，那么23103(+73)(3)333xxx．整理，得x2－13x＋24＝0．解得13732x．所以点M的横坐标为13732x．（3）如图2，如图3，由于∠ADC＝3