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[学业水平训练]1.命题“若a∉A,则b∈B”的逆命题是()A.若a∉A,则b∉BB.若a∈A,则b∉BC.若b∈B,则a∉AD.若b∉B,则a∉A解析:选C.“若p,则q”的逆命题是“若q,则p”,所以本题的逆命题是“若b∈B,则a∉A”.2.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是()A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3解析:选A.由于一个命题的否命题既否定条件又否定结论,因此原命题的否命题为“若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3”.3.命题“若α=π4,则tanα=1”的逆否命题是()A.若α≠π4,则tanα≠1B.若α=π4,则tanα≠1C.若tanα≠1,则α≠π4D.若tanα≠1,则α=π4解析:选C.命题“若α=π4,则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠π4”.4.若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是x,则x是p的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.以上判断都不正确解析:选C.根据四种命题的关系,结合具体的例子可知,命题p与命题x是互为逆否命题.5.命题“对于正数a,若a>1,则lga>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.4解析:选D.原命题“对于正数a,若a>1,则lga>0”是真命题;逆命题“对于正数a,若lga>0,则a>1”是真命题;否命题”对于正数a,若a≤1,则lga≤0”是真命题;逆否命题“对于正数a,若lga≤0,则a≤1”是真命题.6.命题“若m>1,则mx2-2x+1=0无实根”的等价命题是________________.解析:原命题的等价命题是其逆否命题,由定义可知其逆否命题为:“若mx2-2x+1=0有实根,则m≤1”.答案:若mx2-2x+1=0有实根,则m≤17.已知命题“若m-1<x<m+1,则1<x<2”的逆命题为真命题,则m的取值范围是________.解析:由已知得,若1<x<2成立,则m-1<x<m+1也成立.∴m-1≤1,m+1≥2,∴1≤m≤2.答案:[1,2]8.在命题“若数列{an}是等比数列,则an≠0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为________.解析:原命题为真命题,故其逆否命题为真命题,它的逆命题与否命题均为假命题.答案:29.写出命题“已知集合A,B,若A∪B≠B,则A不是B的子集.”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.解:逆命题:已知集合A,B,若A不是B的子集,则A∪B≠B,真命题;否命题:已知集合A,B,若A∪B=B,则A⊆B,真命题.逆否命题:已知集合A,B,若A⊆B,则A∪B=B,真命题.10.已知命题p:“若ac≥0,则二次不等式ax2+bx+c>0无解”.(1)写出命题p的否命题;(2)判断命题p的否命题的真假.解:(1)命题p的否命题为:“若ac<0,则二次不等式ax2+bx+c>0有解”.(2)命题p的否命题是真命题.判断如下:因为ac<0,所以-ac>0⇒Δ=b2-4ac>0⇒二次方程ax2+bx+c=0有实根⇒ax2+bx+c>0有解,所以该命题是真命题.[高考水平训练]1.下列四个命题:①“若xy=0,则x=0且y=0”的逆命题;②“正方形是矩形”的否命题;③若“ac2>bc2,则a>b”的逆命题;④若m>2,则不等式x2-2x+m>0.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:选C.命题①的逆命题是“若x=0且y=0,则xy=0”,为真命题;命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形,则它不是矩形”,为假命题;命题③的逆命题是“若a>b,则ac2>bc2”,为假命题;命题④为真命题,当m>2时,方程x2-2x+m=0的判别式Δ<0,对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点,所以函数值恒大于0.2.给出以下命题:①“正多边形都相似”的逆命题;②“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题.其中为真命题的是________.解析:①逆命题是“若两个多边形相似,则这两个多边形为正多边形”.假命题.②∵Δ=1+4m,若m>0,则Δ>0,∴x2+x-m=0有实根,即原命题为真命题.∴逆否命题也为真命题.答案:②3.若方程x2+2px-q=0(p,q是实数)没有实数根,则p+q<14.(1)判断上述命题的真假,并说明理由.(2)试写出上述命题的逆命题,并判断真假,说明理由.解:(1)上述命题是真命题.由题意,得方程的判别式Δ=4p2+4q<0,得q<-p2,∴p+q<p-p2=-(p-12)2+14≤14,∴p+q<14.(2)逆命题:如果p,q是实数,p+q<14,则方程x2+2px-q=0没有实数根.逆命题是假命题,如当p=1,q=-1时,p+q<14,但原方程有实数根x=-1.4.证明:若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.证明:“若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1”的逆否命题为“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”.∵a=2b+1,∴a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2(2b+1)+1=4b2+1+4b-4b2-4b-2+1=0∴命题“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.
本文标题:四种命题间的相互关系习题
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