不定积分的基本公式与运算法

4·2不定积分的基本公式与运算法则、直接积分法案例研究我国自行研制的动车组列车湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege案例4.2列车的制动点：列车快进站时必须制动减速．若列车制动后的速度为113vt（kg/min），问列车应该在离站台停靠点多远的地方开始制动？湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege分析令1103vt,得3t,即3分钟后列车停下来.设列车从制动点开始计算所运行的路程为s，则11d.3stt若我们能求出上述不定积分，则可得运动方程().sst于是，将3t代入该方程，可求得制动点的距离为(3)s因此，我们的重点是研究不定积分的计算问题.湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege抽象归纳不定积分的基本公式()()()d()FxfxfxxFxC(sin)coscosdsin;xxxxxC类似地，可以推导出其他基本积分公式：湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege1dxxC11(1)1xdxxC1dlnxxCxdlnxxaaxCadxxexeC湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollegesindcosxxxCcossinxdxxC2secdtanxxxC2csccotxdxxC21darcsin1xxCx21darctan1xxCx湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege问下述公式右边的对数中为什么要加绝对值？1dlnxxCx.讨论当0x时，有,xxlnxln1)(当0x时，也有xxxxxlnxln11)()(所以ln||x是1x的原函数.湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege例1求下列不定积分：（1）7d.xx（2）1d.xx（3）3d.xxex解（1）771811.718xdxxCxC（2）11122112.112dxxdxxCxCx（3）(3)3(3).ln(3)xxxxeedxedxCe湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege不定积分的基本运算法则法则１两个函数代数和的不定积分等于各个函数的不定积分的代数和，即()()d()d()d.fxgxxfxxgxx法则2被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号外面，即()d()d(0).kfxxkfxxk湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege例2求(2cos3)d.xxx解(2cos3)dxxxd2cosd3dxxxxxd2cosd31dxxxxx212sin3.2xxxC问：最后的结果为什么只写一个任意常数？湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege直接积分法定义直接用积分基本公式与运算性质求不定积分，或者对被积函数进行适当的恒等变形（包括代数变形与三角变形），再利用积分的基本公式与运算法则求不定积分的方法叫做直接积分法．例3求21d.xxx解22121ddxxxxxxx2112d2ln.2xxxxxCx湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege例4求222.1xdxx解2222211d2d11xxxxxx2121d1xx22arctanxxC湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege例5求2cos.2xdx解利用降幂公式化简.21coscosdd22xxxx11cosd2xx1sin.2xxC湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege案例4.2的解求积分，得21111d1dd.336stttttttC依题意，当0t时，0.s代入上式，得0.C于是，得216stt.将3t代入上式，得21331.5.6s即列车在离站台1.5公里处开始制动.湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege例6已知某种商品的最大需求量为A（即价格为0时的需求量），有关部门给出这种商品的需求量Q的变化率模型为plnApQ)21(2)(（也称边际需求），其中p表示商品的价格，求这种商品的需求函数.解1()[ln2()d2pQpAp1ln2()d2pAp11ln2()ln22pAC湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege1().2pAC将AQ,p0代入上式，得.C0所以这种商品的需求函数为)p(Q.Ap)21(湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege小结：1．不定积分的基本公式：10个公式，要熟记；2．不定积分的基本运算法则：（1）()()d()d()dfxgxxfxxgxx（2）()d()d(0)kfxxkfxxk3．直接积分法。湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege