高中数学人教A版必修4模块综合检测三Word版含解析

模块综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为()A．－12B.12C．－32D.32解析：选B∵r＝64m2＋9，∴cosα＝－8m64m2＋9＝－45，∴m0，∴4m264m2＋9＝125，∴m＝±12.∵m0，∴m＝12.2．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f(x)＝2·sin2x＋π4，g(x)＝sin2x＋π3，h(x)＝cosx－π6的部分图象(如图)，则()A．a为f(x)，b为g(x)，c为h(x)B．a为h(x)，b为f(x)，c为g(x)C．a为g(x)，b为f(x)，c为h(x)D．a为h(x)，b为g(x)，c为f(x)解析：选B由于函数f(x)、g(x)、h(x)的最大值分别是2、1、1，因此结合图形可知，曲线b为f(x)的图象；g(x)、h(x)的最小正周期分别是π、2π，因此结合图形可知，曲线a、c分别是h(x)、g(x)的图象．3．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则OC等于()A．2OA－OBB．－OA＋2OBC.23OA－13OBD．－13OA＋23OB解析：选A∵OC＝OB＋BC＝OB＋2AC＝OB＋2(OC－OA)，∴OC＝2OA－OB.4．已知两不共线的向量a，b，若对非零实数m，n有ma＋nb与a－2b共线，则mn＝()A．－2B．2C．－12D.12解析：选C∵ma＋nb＝λ(a－2b)，∴m＝λ，n＝－2λ，∴mn＝－12.5．若α∈π2，π，且sinα＝45，则sinα＋π4－22·cos(π－α)等于()A.225B．－25C.25D．－225解析：选Bsinα＋π4－22cos(π－α)＝22sinα＋22cosα＋22cosα＝22sinα＋2cosα.∵sinα＝45，α∈π2，π，∴cosα＝－35.∴22sinα＋2cosα＝22×45－2×35＝－25.6．设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于()A.22B.12C．0D．－1解析：选C∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝cos2θ＝0.7．下列函数为奇函数的是()A．y＝2cos2πx－1B．y＝sin2πx＋cos2πxC．y＝tanπx2＋1D．y＝sinπxcosπx解析：选D对于A，y＝2cos2πx－1＝cos2πx是偶函数；对于B，y＝sin2πx＋cos2πx＝2·sin2πx＋π4非奇非偶；对于C，y＝tanπx2＋1非奇非偶；对于D，y＝sinπxcosπx＝12sin2πx是奇函数．8．已知向量m，n的夹角为π6，且|m|＝3，|n|＝2，在△ABC中，AB＝m＋n，AC＝m－3n，D为BC边的中点，则|AD|等于()A．1B．2C．3D．4解析：选AAD＝12(AB＋AC)＝m－n.∴|AD|＝m－n2＝|m|2－2m·n＋|n|2＝1.9．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC的关系为()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点解析：选D∵PA＋PB＋PC＝AB，∴PA＋PB＋PC＝PB－PA，∴PC＝－2PA＝2AP，∴P是AC边的一个三等分点．10．(天津高考)函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为()A．－1B．－22C.22D．0解析：选B由已知x∈0，π2，得2x－π4∈－π4，3π4，所以sin2x－π4∈－22，1，故函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π4上的最小值为－22.11．如图是函数f(x)＝A·cos(2π3x＋φ)－1(A0，|φ|π2)的图象的一部分，则f(2012)＝()A．－3B．2C.32D．1解析：选A由函数的最大值为1可知A＝2，由函数f(x)的图象过原点，可知2cosφ－1＝0，又|φ|π2，所以φ＝±π3，又点(1,0)在函数f(x)的图象上，代入检验可知φ＝－π3，故f(x)＝2·cos2π3x－π3－1，所以f(2012)＝2·cos1340π＋4π3－π3－1＝－3.12．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP·BP有最小值，则点P的坐标是()A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)解析：选C设P(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)，∴AP·BP＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，AP·BP最小，此时P(3,0)．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．要得到函数y＝13sin(2x＋π8)的图象，只需将函数y＝13sin2x的图象________个单位．解析：y＝13sin(2x＋π8)＝13sin2x＋π16，故向左平移π16个单位．答案：向左平移π1614．直线x＝t与函数y＝sinx，y＝cosx的图象分别相交于M，N两点，则|MN|的最大值为________．解析：M，N的纵坐标分别为sint，cost，则|MN|＝|sint－cost|＝|2sin(t－π4)|.∴|MN|max＝2.答案：215．若0≤α≤2π，sinα＞3cosα，则α的取值范围是____________．解析：∵sinα3cosα，∴sinα－3cosα0，即212sinα－32cosα＝2sinα－π30，由0≤α≤2π，得－π3≤α－π3≤5π3，∴0α－π3π，即α∈π3，4π3.答案：π3，4π316．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝2，则AE·BF的值是________．解析：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(2，0)，E(2，1)，D(0,2)，C(2，2)．设F(x,2)(0≤x≤2)，由AB·AF＝2⇒2x＝2⇒x＝1，所以F(1,2)，AE·BF＝(2，1)·(1－2，2)＝2.答案：2三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知sinα＋2cos5π2＋αcosπ－α－sinπ2－α＝－14.(1)求tanα的值；(2)若β为第二象限的角，且tan(α－β)＝13，求β.解：(1)∵sinα＋2cos5π2＋αcosπ－α－sinπ2－α＝sinα－2sinα－cosα－cosα＝12tanα＝－14.∴tanα＝－12.(2)∵tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanαtanα－β＝－12－131＋－12×13＝－1.又∵β为第二象限角，∴β＝2kπ＋3π4，k∈Z.18．(本小题满分12分)(广东高考)已知函数f(x)＝Asinx＋π3，x∈R，且f5π12＝322.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝3，θ∈0，π2，求fπ6－θ.解：(1)∵f(x)＝Asinx＋π3，且f5π12＝322，∴Asin5π12＋π3＝322⇒Asin3π4＝322⇒A＝3.(2)由(1)知f(x)＝3sinx＋π3，∵f(θ)－f(－θ)＝3，∴3sinθ＋π3－3sin－θ＋π3＝3，展开得312sinθ＋32cosθ－332cosθ－12sinθ＝3，化简得sinθ＝33.∵θ∈0，π2，∴cosθ＝63.∴fπ6－θ＝3sinπ6－θ＋π3＝3sinπ2－θ＝3cosθ＝6.19．(本小题满分12分)(北京高考)函数f(x)＝3sin2x＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间－π2，－π12上的最大值和最小值．解：(1)f(x)的最小正周期为2πω＝2π2＝π，x0＝7π6，y0＝3.(2)因为x∈－π2，－π12，所以2x＋π6∈－5π6，0.于是，当2x＋π6＝0，即x＝－π12时，f(x)取得最大值0；当2x＋π6＝－π2，即x＝－π3时，f(x)取得最小值－3.20．(本小题满分12分)已知某海滨浴场海浪的高度y(m)是时间t(0≤t≤24)的函数，下表是某日各时的浪高数据：t(h)03691215182124y(m)1.51.00.51.01.510.50.991.5(1)根据以上数据，选用一个函数来近似描述y与t的函数关系；(2)依据规定，当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解：(1)以时间为横坐标，高度为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图．根据散点图，可考虑用函数y＝Acosωt＋b刻画y与t的函数关系．由表中数据，知周期T＝12.∴ω＝2πT＝2π12＝π6.由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为12，∴y＝12cosπ6t＋1.(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，∴12cosπ6t＋1＞1，∴cosπ6t＞0.∴2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2.即12k－3＜t＜12k＋3，∵0≤t≤24，∴k可取0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6h时间可供冲浪者运动：上午9：00至15：00.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(π3x＋φ)，x∈R，A＞0，0＜φ＜π2.y＝f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．解：(1)由题意得，T＝2ππ3＝6.因为P(1，A)在y＝Asin(π3x＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6.(2)设点Q的坐标为(x0，－A)，由题意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4，所以Q(4，－A)．则RP＝(0，A)，RQ＝(3，－A)，∴cos∠PRQ＝RP·RQ|RP||RQ|＝－A2A·9＋A2＝－12，解得A2＝3.又A0，所以A＝3.22．(本小题满分12分)如图，函数y＝2sin(πx＋φ)，x∈R(其中0≤φ≤π2)的图象与y轴交于点(0,1)．(1)求φ的值；(2)求函数y＝sin(πx＋φ)的单调递增区间；(3)求使y≥1的x的集合．解：(1)因为函数图象过点(0,1)，所以2sinφ＝1，即sinφ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y＝2sin(πx＋π6)，∴当－π2＋2kπ≤πx＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，即－23＋2k≤x≤13＋2k，k∈Z时，y＝sin(πx＋π6)是增函数．则y＝2sin(πx＋π6)的单调递增区间为[－23＋2k，13＋2k]，k∈Z.(3)由y≥1，得sin(πx＋π6)≥12，∴π6＋2kπ≤πx＋π6≤5π6＋2kπ，k∈Z，得2k≤x≤23＋2k，k∈Z，∴y≥1时，x的集合为{x|2k≤x≤23＋2k，k∈Z}．