理论力学(周衍柏)第二章质点组力学

第二章质点组力学2.1质点组2.2动量定理与动量守恒律2.3动量定理与动量矩守恒律2.4动能定理与机械能守恒定律2.5两体问题2.6质心坐标系与实验室坐标系2.7变质量物体的运动2.8位力定理2.1质点组(1)质点组、内力和外力我们把由许多（有限或无限）相互联系着的质点所组成的系统。质点组中质点间的相互作用力。质点组以外的物体对质点组内质点的作用力。质点组：内力：外力：⑵质心质点组的全部质量可认为集中在某一点上，这一点我们就叫做质点组的质心。niiniiicmrmr11质心定义为：在直角坐标系质量连续分布的体系在直角坐标系niiniiicmrmr11niiniiicmxmx11niiniiicmymy11niiniiicmzmz11VVcmmxxddVVcmmyyddVVcmmzzddVVcmmrrdd2.2动量定理与动量守恒律nieiFdtpd1)(⑴动量定理或写成分量形式⑵质心运动定理dtFpdniei)(1)(xnieixniixixFFvmdtddtdp1)(1)(ynieiyniiyiyFFvmdtddtdp1)(1)(znieizniizizFFvmdtddtdp1)(1)(cccnieiamtrmtvmF21)(dddd2分量式为：zcycxcFzmFymFxm,,⑶质点组的动量守恒定理①当质点组不受外力或所受外力的矢量和为零，如果作用在质点组上的诸外力在某一固定轴(设为x轴)上的投影之和为零,为恒矢量,为恒矢量,001)(ccnieivvmppdtpdF)常数(0011)(cmvvmPdtdPFcxniixixxnieix解：忽略空气阻力，则人和重物所组成的质点组在水平方向的动量守恒。设是人在抛掷重物过程中所增加的水平速度，人对惯性参考系（地面）的水平速度为，物体对惯性参考系（地面）的水平速度为，则0vu例:一个重量为P的人,手拿一个重为Q的物体,以与水平线成角的速度向前跳。当他跳到最高时，将物体以相对于他自己的速度水平向后抛出。问由于物体的后抛使人的跳远的距离增加了多少？v设从最高点到落地的时间为t，则故，多跳的一段距离为uQPQvQuvQPuvVgQvVgPVgQP即：0)(由上式可得：)cos()cos(cos水平动量守恒：000xgVtsin0gQPQuVx)(sin02.3动量矩定理与动量矩守恒定律MdtJd⑴对固定点的动量矩定理=dJMdt微分形式在直角坐标系的分量形式质点组nieiyieiziniiiiiiFzFyyzzymdtd1)()(1nieizieixiniiiiiiFxFzzxxzmdtd1)()(1nieixieiyiniiiiiiFyFxxyyxmdtd1)()(1ozzoyyoxxMdtdJMdtdJMdtdJ,,即　　　2121ttJJMdt其在直角坐标系的分量形式212121212121txxoxttyyoyttzzoztJJMdtJJMdtJJMdt质点组的动量矩的积分形式1100,neeoxiiziiyiniiiiiiMyFzFmyzzyx即:J=常数①如果作用在质点组上的诸外力在某一固定点的合力矩为零,即如果，但对通过原点的某一标轴(设为x轴)上的合力矩为零,则该方向动量矩守恒。②⑵动量矩守恒定律⑶对质心的动量矩定理2'()()2ieiiiiicicdrmFFmrdtmr式中为惯性力。''dJMdt⑷质心系中的动量矩守恒定律''0MJ若则常矢量⑴质点组的动能定理2.4动能定理与机械能守恒定律ir由n个质点所组成的质点组，其中任选一个质量mi为，位矢为(对定点o)的质点pi,作用在该质点上所有内力和外力的矢量和,分别为,则质点组中任一质点动能的微分等于作用在该质点上外力及内力所做元功之和,即其中,是质点的速度,则是它的位移。)()(,eiiiFFieiiiiiiirdFrdFdTrmd)()(2)21(irdir对i求和niieiniiiiniiirdFrdFrmd1)(1)(12)21(若用T表示质点组的动能，则niieiniiiirdFrdFdT1)(1)(注意①在动量定理和动量矩定理中，内力均因相等相反而消去；②在质点组动能定理中，内力所作元功之和一般不能互相抵消，即质点组的动能并不一定守恒；③对特殊的质点组—对刚体来说，内力不作功，即内力所作元功之和为零。下面就让我们对第二点进行证明。⑵机械能守恒定律如果作用在质点组上的所有外力不做功及内力都是保守力（或其中只有保守力作功）时，才机械能守恒。EVT22''22ii11nnciciiimrmrmvmv1111T=或T=2222'''ii10niicirpcmrmr因是相对于质心的位矢，故2'i122''ii11122''ii11nicinnniciciiiinnciciiimrrmrmrrmrmrmrrmr质点组动能1T=211221122⑶柯尼希定理22'i1cniimrmr1为质心的动能。21为质点组中各质点对质心系运动的动能。2质点组的动能是以质心为代表的平动能与各质点相对质心的柯尼希定理：动能之和。⑷对质心的动能定理在c-x`y`z`中，对质点mi应用第二定律，得'2'()()''''222'''''''212ieiiiiiiiiiciiiiiiiiiiiidrdrmdrFdrFdrmrdrdtdrdrdrmdrmmdrdrdmrdtdtdt用点乘等式两边，得a2'()()2eiiiiiicdrmFFmrdt2()()''''1111i12nnnneiiiiiiiiciiiiidmrFdrFdrmrdr对a式中的进行求和，得'''1110nnniciciiciiiiimrdrrmdrrdmr2()()'''11112nnneiiiiiiiiiidmrFdrFdr质点组对质心的动能定理质点组对质心的动能的微分，等于质点组相对于质心系位移时内力及外力所作元功之和。说明：因为质心可能具有加速度，质心参考系可能是非惯性参考系，但惯性力所作元功之和为零，因为惯性力的矢量和通过c点，位移为零。2.5两体问题⑴两体问题的含义我们通常把仅受相互作用的内力、不受任何其他外力作用的两个质点（物体）组成的系统，称为两体问题。（如太阳与一个行星，粒子和原子核。）a)(222　　　rrrGMmdtrdMs⑵两体问题动力学方程及守恒量太阳的运动方程22PdrGMmrmdtrr而行星对同一坐标系的运动方程为b1SPc1c:MrmrMmrr.niiicniimxxm由知d代表太阳S和行星P的质心对同一坐标系原点O的位矢(c)0)()()(22　　得：dtrmrMdbaps由上可知以下论断①系统(P,S)的质心将按惯性运动；②太阳和行星都绕它们的质心作圆锥圆锥运动.对系统(S,P)而言，万有引力是内力，故前者即可根据质点组的动量守恒定律得出，而后者可从它们相对于质心的动力学方程得出.下面就让我们给以证明.(2.5.5)0)()()c(22　　得：由dtrdmMdc12,.,,CrrP由两体系统特点可知质心C必在S,P的联线上如令CPCS则行星对的动力学方程为2112121()rkmmrrrrf221122111()rkmMmrMmrrg因为21Mrmr则由上可知，力仍与距离的平方成反比，故由§1.9，知行星绕(S,P)系统的质心作圆锥曲线运动。（太阳的也是如此）22,iPSrrrdrGMmrMmMmdtrr但所以式h变为2'222'2M,j.GmMmdrrkmrmdtrrrrkGMm消去得式中222,SPMamdrdrGMmrMmMmdtdtrr现在就让我们来求行星对太阳的相对运动方程,b得h222kMmdrkmrMmdtrr式i可变为,,111,,1MMmmMmmmmMM这就是行星对太阳的动力学方程,并且仍然认为太阳不动.太阳质量仍为但行星的质量则不等于而减小为=或即为折合质量.⑶开普勒第三定律的修正3'2111213'2222222,::akGMmakGMm322122a由式=得k4对行星P4对行星P133121222122,1:1maaMmMmMmM两式相除得l1122,,1.,10471048,1.1047PMmPMm实际上太阳系中最大的行星木星其质量不过是太阳质量的令为木星为其他行星,则之比也不会超过与相差至微故开普勒第三定律虽是近似的,但近似程度极高.知识拓展没有考虑行星间的相互吸引属于两体问题；考虑任一行星还要受到其他行星的吸引则属于多体问题。而多体问题一般只能用微扰的方法来近似求。2.6质心坐标系与实验室坐标系质心坐标系：在随着质心运动的坐标系中观测。实验室坐标系：在静止坐标系中来观察。⑴实验室坐标系与质心坐标系⑵两种坐标系中弹性散射的不同结果①两种坐标系中看到的弹性散射现象（如下图）设两质点的质量为，散射角在实验室坐标系中为θr，在质心系中为θc，可由相对运动速度的合成关系（见右图）②两坐标系中散射角的相互关系21mm，11VVv相对速度牵连速度绝对速度为了消去,并用质点的质量表示，可利用质心的定义并以r表示质点2相对质点1的位置矢量，由将它投影在水平方向与垂直方向,可求得,11VVv相对速度牵连速度绝对速度VVVccrcossintan11VV、1rmV11rmV21特例（1）重核散射（如α粒子散射）时有;（2）等质量粒子散射（如质子—中子散射）时，有.可得到用散射角θr用质点质量表示的形式：21mm，21mm21cossintanmmccr21mmcrcr212.7变质量物体的运动变质量物体的运动我们把质量随时间连续地变化的物体的运动称为变质量物体的运动。m=m(t)⑴变质量物体的运动的概念⑵变质量物体的运动的运动方程tFumvmvvmm))((v,,vvvvvvvt忽略二阶量m除以并取极限得m+mmvmmmmvmmvuvFtmmm由质点的动量定理：000vlimulimvlimFtttmmmttt取极限vvuFddmdmmdtdtdtvuFddmmdtdt即各物理量的物理意义00dmdtdmdtdmdtb是主体质量随时间的变化率.〉，表示并入质量.,表示放出质量.分出后一刹那的速度。合并以前或自未与代表微质量mmmua)(2.8位力定理2.8位力定理由动量定理导出动量矩定理动量定理FpdtdFrprdtdprprprd