数学选修45人教A版课件第一讲12122绝对不等式的解法

第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1．2.2绝对值不等式的解法[学习目标]1.理解和掌握|ax＋b|≤c及|ax＋b|≥c型不等式的解法(重点)．2.掌握|x－a|＋|x－b|≥c及|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．|x|＞a与|x|＜a(α＞0)型的不等式当a＞0时，不等式|x|＞a的解集是{x|x＞a或x＜－a}，不等式|x|＜a的解集是{x|－a＜x＜a}．2．|ax＋b|＞c，(c＞0)与|ax＋b|＜c，(c＞0)型的不等式不等式|ax＋b|＞c的解集是{x|ax＋b＞c或ax＋b＜－c}；不等式|ax＋b|＜c的解集是{x|－c＜ax＋b＜c}．3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式(1)利用绝对值的几何意义．式子|x－a|＋|x－b|的几何意义是：在数轴上实数x与a，b对应的点之间的距离的和；式子|x－a|－|x－b|的几何意义是：在数轴上实数x与a对应的点之间的距离与实数x与b对应的点之间的距离的差．利用上述几何意义，结合数轴可以得到形如不等式|x－a|±|x－b|≤(≥)c的解集．(2)分段讨论法．解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，转化为不含绝对值的不等式求解．(3)数形结合法．从函数的观点，利用函数图象求不等式的解集．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)|x|＜1的解集为{x|－1＜x＜1}．()(2)|x|＜1的几何意义就是数轴上到原点的距离小于1的点的集合．()(3)|x|≥1的解集是{x|x≥1或x≤－1}．()(4)|x|＞1的几何意义就是数轴上到原点的距离大于1的点的集合．()解析：由绝对值的定义及几何意义易知(1)(2)(3)(4)都正确．答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，B＝{x||2x－1|＞3}，则A∩B等于()A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|2＜x≤3}D．{x|－1＜x＜3}解析：因为A＝{x|2≤x≤3}，B＝{x|x＞2或x＜－1}，所以A∩B＝{x|2＜x≤3}．答案：C3．不等式|x＋3|－|x－3|＞3的解集是()A.xx＞32B.x32＜x≤3C．{x|x≥3}D．{x|－3＜x≤0}解析：当x＜－3时，－(x＋3)＋(x－3)＞3，无解．当－3≤x≤3时，x＋3＋x－3＞3，即x＞32，故32＜x≤3.当x＞3时，x＋3－(x－3)＞3，即6＞3，故x＞3.综上所述，所求的解集为xx＞32.答案：A4.不等式|8－x|≥3的解集为________________．解析：原不等式化为x－8≥3或x－8≤－3解得x≥11或x≤5.答案：{x|x≥11或x≤5}5．(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为x－53＜x＜13，则a＝________.解析：由|ax－2|＜3得到－3＜ax－2＜3，－1＜ax＜5，又知道解集为x－53＜x＜13所以a＝－3.答案：－3类型1|ax＋b|≤c(或|ax＋b|≥c)(c0)型不等式的解法(自主研析)[典例1]解下列不等式．(1)|4x＋5|≥25；(2)1＜|x－1|＜5.解：(1)因为|4x＋5|≥25⇔4x＋5≥25或4x＋5≤－25⇔4x≥20或4x≤－30⇔x≥5或x≤－152.所以原不等式的解集为xx≥5或x≤－152.(2)因为1＜|x－1|＜5⇔1＜x－1＜5或－5＜x－1＜－1⇔2＜x＜6或－4＜x＜0，所以原不等式的解集为{x|2＜x＜6或－4＜x＜0}．归纳升华1．求解|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式的一般步骤：(1)判断不等号右侧的式子是否大于0；(2)若大于0，根据绝对值不等式的几何意义，整体代换，若不能判定，则分三种情况进行分类讨论；(3)将不等式的解集写成集合或者区间的形式．2．注意事项：(1)在进行集合运算时，要注意利用数轴这一重要工具，尤其是要注意端点值的取舍；(2)利用绝对值的几何意义时，要注意将x前系数化为1.[变式训练]解下列不等式．(1)|1－2x|5；(2)|4x－1|＋2≤10.解：(1)|1－2x|5⇔2x－15或2x－1－5⇔2x6或2x－4⇔x3或x＜－2.所以原不等式的解集为{x|x3或x－2}．(2)|4x－1|＋2≤10⇔4x－1|≤8所以－8≤4x－1≤8⇔－7≤4x≤9⇔－74≤x≤94.所以原不等式的解集为x|－74≤x≤94.类型2|x－a|＋|x－b|≥c(或|x－a|＋|x－b|≤c)型不等式的解法[典例2]解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.解：法一：如图所示，设数轴上与－1，1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间[－1，1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.所以－1－x＋1－x＝3，得x＝－32，同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离和为3，B1对应数轴上的x，所以x－1＋x－(－1)＝3.所以x＝32.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.所以原不等式的解集是(－∞，－32]∪[32，＋∞)．法二：当x≤－1时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x－1)≥3，解得x≤－32.当－1x1时，原不等式可以化为x＋1－(x－1)≥3，即2≥3不成立，无解．当x≥1时，原不等式可以化为x＋1＋x－1≥3.所以x≥32.综上可知原不等式的解集为{x|x≤－32或x≥32}．法三：将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.构造函数y＝|x＋1|＋|x－1|－3，即y＝－2x－3，x≤－1，－1，－1x1，2x－3，x≥1.作出函数的图象(如右图所示)．函数的零点是－32，32.从图象可知，当x≤－32或x≥32时，y≥0，即|x＋1|＋|x－1|－3≥0.所以原不等式的解集为－∞，－32∪32，＋∞.归纳升华|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．1．分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解，即|x|＝x，x≥0，－x，x＜0，也即x为非负数时，|x|为x；x为负数时，|x|为－x，即x的相反数．2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c(a＜b)的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式．不妨设a＜b，于是f(x)＝－2x＋a＋b－c，x≤a，b－a－c，a＜x＜b，2x－a－b－c，x≥b，这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．3．几何解法的关键是理解绝对值的几何意义．[变式训练](2015·课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＞1化为|x＋1|－2|x－1|－1＞0.当x≤－1时，不等式化为x－4＞0，无解；当－1＜x＜1时，不等式化为3x－2＞0，解得23＜x＜1；当x≥1时，不等式化为－x＋2＞0，解得1≤x＜2.所以f(x)＞1的解集为x23＜x＜2.(2)由题设可得，f(x)＝x－1－2a，x＜－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，x＞a.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a－13，0，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.由题设得23(a＋1)2＞6，故a＞2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．类型3绝对值不等式的综合应用(规范解答)[典例3](本小题满分10分)设函数f(x)＝|x＋a|－|x－1－a|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥12的解集；(2)若对任意a∈[0，1]，不等式f(x)≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．[规范解答](1)当a＝1时，f(x)≥12等价于|x＋1|－|x|≥12.(1分)①当x≤－1时，不等式化为－x－1＋x≥12，无解；②当－1＜x＜0时，不等式化为x＋1＋x≥12，解得－14≤x＜0；③当x≥0时，不等式化为x＋1－x≥12，解得x≥0.(3分)综上所述，不等式f(x)≥1的解集为－14，＋∞.(4分)(2)因为不等式f(x)≥b的解集为空集，所以b＞[f(x)]max.(5分)以下给出两种方法求f(x)的最大值．法一：因为f(x)＝|x＋a|－|x－1－a|(0≤a≤1)，当x≤－a时，f(x)＝－x－a＋x－1－a＝－a－1－a＜0.当－a＜x＜1－a时，f(x)＝x＋a＋x－1－a＝2x＋a－1－a≤21－a＋a－1－a＝a＋1－a.当x≥1－a时，f(x)＝x＋a－x＋1－a＝a＋1－a.所以[f(x)]max＝a＋1－a.(7分)法二：因为f(x)＝|x＋a|－|x－1－a|≤|x＋a－x＋1－a|＝|a＋1－a|＝a＋1－a，当且仅当x≥1－a时取等号．所以[f(x)]max＝a＋1－a.(7分)因为对任意a∈[0，1]，不等式f(x)≥b的解集为空集，所以b＞a＋1－amax.(8分)以下给出三种思路求g(a)＝a＋1－a的最大值．思路1：令g(a)＝a＋1－a，所以g2(a)＝1＋2a1－a≤1＋(a)2＋(1－a)2＝2，当且仅当a＝1－a，即a＝12时等号成立．所以[g(a)]max＝2.所以b的取值范围为(2，＋∞)．(10分)思路2：令g(a)＝a＋1－a，因为0≤a≤1，所以可设a＝cos2θ0≤θ≤π2，则g(a)＝a＋1－a＝cosθ＋sinθ＝2sinθ＋π4≤2，当且仅当θ＝π4时等号成立．所以b的取值范围为(2，＋∞)．(10分)思路3：令g(a)＝a＋1－a，因为0≤a≤1，设x＝a，y＝1－a，则x2＋y2＝1，0≤x≤1，0≤y≤1.问题转化为在x2＋y2＝1，0≤x≤1，0≤y≤1的条件下，求z＝x＋y的最大值．利用数形结合的方法容易求得z的最大值为2，此时x＝y＝22.所以b的取值范围为(2，＋∞)．(10分)归纳升华1．对于含有绝对值的综合应用题，首先考虑的是零点分段法去绝对值，把函数转化为分段函数，其次结合图象求解参数或自变量的范围．2．解决已知不等式的解集求其参数的范围问题，仍然是利用转化的思想，将其转化为函数的最大(小)值问题．[类题尝试]已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－3|(a∈R)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥x＋8的解集；(2)若函数f(x)的最小值为5，求a的值．解：当a＝1时，不等式f(x)≥x＋8可化为|x＋1|＋|x－3|≥x＋8，当x＜－1时，有－(x＋1)－(x－3)≥x＋8，解得x≤－2；当－1≤x≤3时，有(x＋1)－(x－3)≥x＋8，解得x≤－4，不合要求；当x＞3时，有(x＋1)＋(x－3)≥x＋8，解得x≥10；综上所述，x≤－2或x≥10.所以，原不等式解集为(－∞，－2]∪[10，＋∞)．(2)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－3|＝|x＋a|＋|3－x|≥|(x＋a)＋(3－x)|＝|a＋3|令|a＋3|＝5，解得a＝2或a＝－8.1．解含有绝对值的不等式的总体思路是：将含有绝对值的不等式