中考复习讲义-相似三角形综合应用(含答案)

1相似三角形综合应用内容基本要求略高要求相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题模型一角分线模型1、内角平分线AD是ABC的角平分线，则ABBDACCD【证明】过C作CEAD∥交直线AB于E.∵CEAD∥，∴1E，23又∵AD平分BAC，∴12，∴3E，∴AEAC，由CEAD∥可得：ABBDAECD，∴ABBDACCD2、外角平分线BAC的外角平分线交对边BC的延长线于D，则ABBDACCD【证明】过C作CEAD∥交直线AB于E.∵CEAD∥，∴13，24又∵AD平分CAF，∴12，∴34，∴AEAC，由CEAD∥可得：ABBDAECD，∴ABBDACCD自检自查必考点中考说明321EDCBADCBADCBAF4321EDCBA2模型二梯形模型若ADBCab∶∶，则22ADEABEBECDECSSSSaabbab∶∶∶∶∶∶△△△△EDCBA考点一与公共边有关的相似问题【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若90BFA，则下列四对三角形：①BEA△与ACD△；②FED△与DEB△；③CFD△与ABG△；④ADF△与CFB△，其中相似的为（）GABCDEFA．①④B．①②C．②③④D．①②③【答案】D【解析】②2AEEFEB，∴2DEEFEB，故FEDDEB△∽△【例2】如图，矩形ABCD中，BEAC于F，E恰是CD的中点，下列式子成立的是（）FEDCBAA．2212BFAFB．2213BFAFC．2212BFAFD．2213BFAF【答案】A中考满分必做题3【例3】如图，ABC中，ADBC于D，BEAC于E，DFAB于F，交BE于G，FD、AC的延长线交于点H，求证：2DFFGFH.HGDFECBA【解析】可通过射影定理转化成证明AFBFFGFH，证明BFG∽HFA即可.【例4】如图，ABC中，90ACB，CDAB于DE，为BC的中点，DEAC，的延长线交于F．求证：ACFABCFD．321FDECBA【答案】∵CDBC，E为BC中点，∴EDEC，∴12，又∵290390BB，，∴13，又∵FF，FCDFDA∽，∴FAADFDCD，又∵3390ACBADC，，∴ABCACD∽，∴ADACCDBC，∴ACFABCFD．【巩固】在RtABC△中，过直角顶点B作斜边AC的垂线BD，取BC的中点E，连接ED并延长交BA的延长于点F，求证：FDABFBBCFEDCBA【解析】FADFDB△∽△，FDADABFBBDBC【例5】如图，在ABC中，AD平分BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，4求证：2FDFBFC．EFDCBA4321AEBDCF【答案】连接AF∵EF垂直平分AD，∴AFDF，∴4DAF，即423，又∵41B，∴231B，∵AD平分BAC，∴12，∴3B，又∵CFAAFB，∴CFAAFB∽，∴2FAFCFB．又∵AFDF，∴2FDFBFC【巩固】如上图，在ABC中，2FDFBFC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：AD平分BAC．EFDCBA4321AEBDCF【答案】连接AF，∵EF垂直平分AD，∴AFDF，∵2DFFCFB，∴2AFFCFB∴AFFBFCAF，又∵AFCBFA∴AFCBFA∽，∴3B，∵423，41B，∴231B，∴12，即AD平分BAC．【例6】已知，如图，ABC为等边三角形，120DAE且DAE的两边交直线BC于DE，两点，求证：2BCBDCE．EDCBA321EDCBA【解析】∵12060DAEBAC，，∴1260．又∵360，∴160E，∴2E，∵360ABC，∴120ABDACE∴ABDECA∽，∴ABCEBDAC，即ABACBDCE，∵ABACBC，∴2ABBDCE．考点二与旋转有关的相似问题5【例7】如图，直角梯形ABCD中，90BCD，ADBC∥，BCCD，E为梯形内一点，且90BEC，将BEC绕C点旋转90使BC与DC重合，得到DCF，连EF交CD于M．已知53BCCF，，则:DMMC的值为（）A．5:3B．3:5C．4:3D．3:4MFEDCBA【答案】C．【例8】如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，求::AGDFCE_________.ABCDEFGGFEDCBA【答案】连接BDBF，。∵,ABBCBGBEABGCBE，,ABBCBGBE∴ABGCBE≌∴AGCE∵,EFBEEFBE∴45,2EBFBFBE∵,BCCDBCCD∴45,2CBDBDBC∴,2BDBFFBDCBEBCBE∴FBDEBC∽∴2DFBDECBF∴::1:2:1AGDFCE【例9】（1）如图1，等边ABC△中，D为AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边EDC△，连接AE，求证：AEBC∥．（2）如图2，将（1）中的等边ABC△改为以BC为底边的等腰三角形，所作的EDC△改成相似于ABC△，请问：是否有AEBC∥？证明你的结论．EDCBADEBCA【答案】（1）由ACEBCD△∽△，得EACACB，故AEBC∥．（2）由ACEBCD△∽△，得EACBACB，故AEBC∥．6考点三与三角形有关的相似综合题【例10】如图，ABC△内有一点P，过P作各边的平行线，把ABC△分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积123SSS，，分别为112，，，则ABC△的面积是________．PS3S2S1IHGFEDCBA【解析】设ABC△的面积为S，则3121SSSPDPEHGBHHGGCBCBCBCBCSSS，故22123112642SSSS．【答案】642【例11】如图所示，ABCDEF是一个凸六边形，P、Q、R分别是直线BA与EF、FE与CD、DC与AB的交点，S、T、U分别是BC与ED、DE与AF、FA与CB的交点，如果ABPRCD∶∶RQEFQP∶，求证：BCUSDESTFATU∶∶∶．TSURQPFEDCBATSURQPOFEDCBA【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且AB、CD、EF构成一个与PQR相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将AB、CD、EF集中到一起构成一个与PQR相似的三角形．如图所示，将CD平移至OE位置，则OECD∥，且OECD=，所以FEOQ，且EOQRCDQREFQP∶∶∶，因此FEOPQR∽，从而OFEP，且FOPREFQPABPR∶∶∶．这说明FOAB∥，且FOAB=，进而FAOB∥，且FAOB=．又因为CODE∥，于是COBSTU∽，所以BCUSCOSTOBTU∶∶∶，注意到CODE，OBFA，故BCUSDESTFATU∶∶∶．【例12】已知：ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．7（1）如图l，若ABC为锐角三角形，且45ABC，过点F作FGBC∥，交直线AB于点G，求证：FGDCAD；（2）如图2，若135ABC，过点F作FGBC∥，交直线AB于点G，则FGDCAD、、之间满足的数量关系是_________；（3）在（2）的条件下，若52AG，3DC，将一个45角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于MN，两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于PQ，两点，若32NG，求线段PQ的长．图1GFEDCBA图2GFEDCBA图3NQPABCDEFGM【答案】（1）证明：∵9045ADBABC，∴45BADABC，∴ADBD∵90BEC，∴90CBEC∵90DACC，∴CBEDAC∵90FDBCDA，∴FDBCDA∴DFDC∵GFBD∥∴45AGFABC，∴AGFBAD∴FAFG，∴FGDCFADFAD（2）FGDCAD（3）如图，∵135ABC，∴45ABD∵90ADB，∴45DABDBA，∴ADBD∵FGBC∥，∴GDBADAB，∴AFFG∵22252AGFGAFAG，∴5FGAF∵3CD，由（2）知FGDCAD，∴2ADBD∴13BCDF，，∴FDC为等腰直角三角形∴2232GCDFDC分别过B，N作BHFG于点HNKBG于点K∴四边形DFHB为矩形∴23HFBDBHDF，∴3BHHG，∴2BGBH∵sinNKGNG∴324NK∴924BK∵45MBNHBG∴MBHNBK∵90MHBNKB∴MBHNBK∽∴MHBHNKBK∴1MH∴1FM∵BCFG∥∴BCFCFN∵BPCMPFCBFM，∴BPCMPF≌∴13222PCPFFC∵BQCNQF∴BCQNFQ∽∴BCCQNFFQ，∴27CQFQKHMGFEDCBAPQN8∴223232993CQFC∴526PQCPCQ考点四与相似有关的动点问题【例13】如图，ABC中，39085ACCBCAB，，，点P从B出发，沿BC方向以2/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向也以1/s的速度移动，若PQ，分别从BC，出发，经过多少时间CPQ与CBA相似？QPCBA【答案】∵39085ACCBCAB，，，设35ACkABk，，∴222ACBCAB，即222(3)8(5)kk，解得2k（负值已舍去）∴6AC设经过st后CPQ与CBA相似．此时282BPtPCtCQt，，本题需分两种情况：（1）当CABCQP∽时，CQCPCACB，即8268tt，解得2.4t（2）当CABCPQ∽时，CQCPCBCA，即8286tt，解得3211t．综上，当2.4t秒或3211秒时，CPQ与CBA相似【例14】如图，在矩形ABCD中，126ABBC，，点P沿AB边从点A开始向点B以2/秒的速度移动，点Q沿DA边以1/秒的速度从点D开始移动，如果PQ，同时出发，用t（秒）表示移动的时间(06)t≤≤．（1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC面积，提出一个与计算结果相关的正确结论．（3）当t为何值时，以点QAP，，为顶点的三角形与ABC相似．QPDCBA9【答案】（1）当QAP为等腰直角三角形时，APAQ，∴26tt，2t（2）11(6)12263622QACAPCQAPCSSStt四边形，即四边形QAPC的面积为定值．（3）分2种情况①当APQBAC∽时，2APBAAQBC，即226tt，解得3t．②当AQPBAC∽时，2AQBAAPBC，即622tt，解得65t．综上当3t或65时，以点QAP，，为顶点的三角形与ABC相似．【例1】如图，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．若过A，D，C三点的圆O的半径为3，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似