概率论与数理统计习题参考答案

概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第1页(共101页)概率论与数理统计参考答案（附习题）第一章随机事件及其概率1.写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度.解：所求的样本空间如下（1）S={2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}（2）S={(x,y)|x2+y21}（3）S={3，4，5，6，7，8，9，10}（4）S={v|v0}2.设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：（1）A发生，B和C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A、B、C都发生；（4）A、B、C都不发生；（5）A、B、C不都发生；（6）A、B、C至少有一个发生；（7）A、B、C不多于一个发生；（8）A、B、C至少有两个发生.解：所求的事件表示如下(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ABCABCABCABCABCABCABBCACABBCCA3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则（1）事件AB表示什么？（2）在什么条件下ABC=C成立？（3）在什么条件下关系式CB是正确的？（4）在什么条件下AB成立？解：所求的事件表示如下（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员.（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立.概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第2页(共101页)（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式CB是正确的.（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，AB成立.4．设P(A)＝0.7，P(A－B)＝0.3，试求()PAB解由于AB=A–AB,P(A)=0.7所以P(AB)=P(AAB)=P(A)P(AB)=0.3,所以P(AB)=0.4,故()PAB=10.4=0.6.5.对事件A、B和C，已知P(A)=P(B)＝P(C)＝14，P(AB)=P(CB)=0,P(AC)=18求A、B、C中至少有一个发生的概率.解由于,()0,ABCABPAB故P(ABC)=0则P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(BC)–P(AC)+P(ABC)11115000444886.设盒中有α只红球和b只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率：A＝{两球颜色相同}，B＝{两球颜色不同}.解由题意，基本事件总数为2abA，有利于A的事件数为22abAA，有利于B的事件数为1111112abbaabAAAAAA,则2211222()()ababababAAAAPAPBAA7.若10件产品中有件正品，3件次品,（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率.解（1）设A={取得三件次品}则333333101016()()120720或者CAPAPACA.（2）设B={取到三个次品},则33327()101000PA.8.某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；（2）此人只会讲法语的概率.解设A={此人会讲英语},B={此人会讲日语},C={此人会讲法语}根据题意,可得概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第3页(共101页)(1)32923()()()100100100PABCPABPABC(2)()()()PABCPABPABC()01()PABPAB1()()()PAPBPAB4335325411001001001009.罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求：（1）取到的都是白子的概率；（2）取到两颗白子，一颗黑子的概率；（3）取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（4）取到三颗棋子颜色相同的概率.解(1)设A={取到的都是白子}则3831214()0.25555CPAC.(2)设B={取到两颗白子,一颗黑子}2184312()0.509CCPBC.(3)设C={取三颗子中至少的一颗黑子}()1()0.745PCPA.(4)设D={取到三颗子颜色相同}3384312()0.273CCPDC.10.（1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？解(1)设A={至少有一个人生日在7月1日},则500500364()1()10.746365PAPA(2)设所求的概率为P(B)412612611()0.007312CCPB11.将C，C，E，E，I，N，S7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE的概率p.解由于两个C，两个E共有2222AA种排法，而基本事件总数为77A，因此有2222770.000794AApA概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第4页(共101页)12.从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率.解要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有4452C中取法.设A={4只手套都不配对}，则有445410280()210CPAC13.一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i只零件是不合格的概率为11ipi，i=1，2，3，若以x表示零件中合格品的个数，则P(x=2)为多少？解设Ai={第i个零件不合格}，i=1,2,3,则1()1iiPApi所以()11iiiPApi123123123(2)()()()PxPAAAPAAAPAAA由于零件制造相互独立，有：123123()()()()PAAAPAPAPA，123123()()()()PAAAPAPAPA123123()()()()PAAAPAPAPA11112111311,(2)23423423424Px所以14.假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.解设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，Bi={第i次击中目标},i=1,2.则P(A)=0.7,P(Bi|A)=0.6另外B=B1+B2，由全概率公式12()()()()()(|)()(()|)PBPABPABPABPAPBAPAPBBA另外,由于两次射击是独立的,故P(B1B2|A)=P(B1|A)P(B2|A)=0.36由加法公式P((B1+B2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A)－P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84因此P(B)=P(A)P((B1+B2)|A)=0.7×0.84=0.58815.设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件次品的概率分别为0.25,0.2,0.18,0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第5页(共101页)解设Ai={一批产品中有i件次品}，i=0,1,2,3,4,B={任取10件检查出一件次品},C={产品中次品不超两件},由题意01914911050192482105019347310501944611050(|)01(|)516(|)4939(|)98988(|)2303PBACCPBACCCPBACCCPBACCCPBAC由于A0,A1,A2,A3,A4构成了一个完备的事件组,由全概率公式40()()(|)0.196iiiPBPAPBA由Bayes公式000111222()(|)(|)0()()(|)(|)0.255()()(|)(|)0.333()PAPBAPABPBPAPBAPABPBPAPBAPABPB故20()(|)0.588iiPCPAB16.由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.解设B={三件都是好的}，A1={损坏2%},A2={损坏10%},A1={损坏90%}，则A1,A2,A3是两两互斥,且A1+A2+A3=Ω,P(A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.05.因此有P(B|A1)=0.983,P(B|A2)=0.903,P(B|A3)=0.13,由全概率公式31333()()(|)0.80.980.150.900.050.100.8624iiiPBPAPBA由Bayes公式,这批货物的损坏率为2%,10%,90%的概率分别为313233()(|)0.80.98(|)0.8731()0.8624()(|)0.150.90(|)0.1268()0.8624()(|)0.050.10(|)0.0001()0.8624iiiiiiPAPBAPABPBPAPBAPABPBPAPBAPABPB由于P(A1|B)远大于P(A3|B),P(A2|B),因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第6页(共101页)17.验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求：（1）一次通过验收的概率α；（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β.解设Hi={箱中实际有的次品数},0,1,2i,A={通过验收}则P(H0)=0.8,P(H1)=0.15,P(H2)=0.05,那么有：042314244222424(|)1,5(|),695(|)138PAHCPAHCCPAHC(1)由全概率公式20()()(|)0.96iiiPAPHPAH(2)由Bayes公式得00()(|)0.81(|)0.83()0.96iPHPAHPHAPA18.一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？（2）至少有三台设备被使用的概率是多少？解设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的,因此本题可以看作是5重伯努利试验.由题意，有p=0.1,q=1p=0.9,故(1)223155(2)(0.1)(0.9)0.0729PPC(2)2555(3)(4)(5)PPPP332441550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856CCC19.甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，如果每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以采用三局二胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性较大？解在三局两胜时,甲队获胜的概率为3322133033(2)(3)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)0.648APPPCC在五局三胜的情况下,甲队获胜的概率为555332441550555(3)(4)(5)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)0.682BPPPPCCC因此，采用五局三胜制的情况下，甲获胜的可能性较大.20.4次重