微分方程模型初步

1本章介绍确定性动态系统的微分方程建模。首先回顾物理领域的微分方程模型，然后介绍今非物理领域的微分方程模型。一、微分方程应用举例人们对于微分方程的研究，早在十六七世纪微积分建立的时候就已经开始了，在17世纪和18世纪初得到了迅速的发展，成为研究自然现象的有力的工具。早期的研究与几何及力的研究关系密切。在17、18世纪，人们借助于微分方程，在力学、天文学、物理学等领域中，取得了重要的成就。第五章微分方程模型2在一些应用问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系。但是，可以根据问题所提供的线索，列出含有待定函数及其导数的关系式，称这样的关系式为微分方程模型。给出微分方程模型之后，对它进行研究，找出未知函数这一过程称为解微分方程。下面给出的几个问题都是与时间t有关。对于一个依赖于时间t的量y的情况，建立一个关于、y与t的关系式，它在任何时刻均成立。对这个方程积分，便得到一个只含有y和t而不含的新方程。新方程中含有积分常数，并且对于任何特定的t仍然成立。然后，利用问题中的一些特定信息，确定这些积分常数，于是得函数，对于任何确定的t0，都可以算出.3一般来说，求解一个应用问题时，可以按照如下步骤：（1）把用语言叙述的情况化为文字方程；（2）给出问题所涉及的原理或物理定律；（3）列出微分方程；（4）列出该微分方程的初始条件或其他条件；（5）求解微分方程；（6）确定微分方程中的参数；（7）求出问题的答案。4§1微分方程的简单应用一、根据规律建模问题在数学、力学、物理、化学等学科中已有许多经过实践检验的规律和定律，如牛顿运动定律、基尔霍夫电流及电压定律、物质的放射性规律、曲线的切线的性质等，这些都涉及到某些函数的变化率.我们就可以根据相应的规律，列出常微分方程.000例物体在空气中的冷却速率与物体、空气的温差成正比，如果物体在20min内由100C冷却到60C，那么经过多长时间此物体的温度将达到30C？50TTTT解牛顿的冷却定律是：将温度为的物体放入处于常温的介质中时，的变化率正比于与周围介质的温度差.1.3dTdt由题意知=-k(T-20),T(0)=100,T()=603t0T=Ce20,1T=80()20,1,21C.ktth−++=微分方程的解为可求出即经过温度可以降到306二、物体达到的最大高度问题问题：在地面上以初速度铅直向上射一物体，设地球引力与物体到地心距离平方成反比，求物体可能达到的最大高度。若物体脱离太阳系，则应为多少？0v解：已知地球半径R＝6370公里，假设空气阻力不计（仅讨论此简单情况）。设在t时刻物体的高度为S＝S(t)，所以物体受地球的引力为：0v7)11(0)(2−+−=ksRkF现求比例系数k，因为当物体在地面上时S＝0,F＝－mg.由(1-1)得：2mgRk=所以22)(sRRmgF+−=由牛顿第二定律：F＝ma2222)(dtsdmsRRmg=+−⇒8且有初始条件，=′=0)0(0)0(vss此方程是二阶特型..)(2222sRgRdtsd+−=∴，vdtds=，dsdvvdtsd=∴22.)(22sRgRdsdvv+−=则有分离变量，dssRgRvdv22)(+−=积分得.2122csRgRv++=9由初始条件，=′=0)0(0)0(vssgRvc−=∴2021++=sRgRv2221故.2120gRv−又因为当物体达到最大高度时V＝0,于是令V＝0，++∴sRgR2.02120=−gRv因此物体的最大高度为)21(22020max−−=vgRRvs10如果物体脱离太阳系，必须S→＋∞，而由(1-2)知，时，当0220→−vgRS→＋∞所以应取.20gRv=将g＝9.8米／＝9.8／1000公里／，2秒2秒R＝6370公里代入(1-3)，gRv20=得≈11.2公里／秒（第二宇宙速度）.思考题：若有空气阻力，如何建立其数学模型？11三、物体在液面上的浮沉振动问题问题：一个边长为3米的立方体浮于水面上，已知立方体上下振动的周期为2秒，试求物体沉浮振动的规律和质量。问题的分析：设水的密度为1000kg／，当物体侵入水中时，它受到一个向上的浮力，由阿基米德原理知：浮力的大小等于与物体侵入水中的那部分同体积的水的重量。3m设物体的质量为m，物体在t时刻相对于静止位置的位移为x，即x＝x(t),由阿基米德原理知，引起振动的浮力为：x×3×3×1000g＝9000gx(N)12由牛顿第二定律得)41(900022−−=gxdtxdm其中g＝9.8m／.2s方程(1-4)就是物体沉浮振动的数学模型.易得方程(1-4)的通解为tmgctmgcx9000sin9000cos21+=于是周期为290002==mgTπ解得).(893790002kggm≈=π13思考题：一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子上，运动开始时链条的一边下垂8米，另一边下垂10米，试问整个链条滑过钉子需多少时间。14mx解：设链条的质量为，较重一边链长为，链条滑动时所受的张力为f，建立模型如下：............(1)1818(18)(18)............(2)1818mdvmxgxfdtmdvmxfxgdt=−−=−−较重一段：较轻一段：15§2铅球掷远的数学模型问题、设铅球初始速度为V,出手高度为h，出手角度为（与地面的夹角），建立投掷距离与V、h、的关系式，并在V、h一定的条件下求最佳出手角度和最远距离。αα模型1——抛射模型在这个模型中，我们不考虑投掷者在投掷圆内用力阶段的力学过程，只考虑铅球脱手时的初速度和投掷角度对铅球的影响。假设：1、铅球被看成一个质点。2、铅球运动过程中的空气阻力不计。163、投掷角和初速度是相互独立的。4、设铅球的质量为m，建立坐标系如图在t时刻，铅球的位置在M(x,y)点，则由力学定律知，铅球运动的两个微分方程是：),(yxM•====−==ααsin)0(cos)0()0(0)0(0vyvxhyxmgymxm17解之得++−==hvtgtyvtxααsin21cos2所以铅球的运动轨迹为)12(tancos2222−++−=hxxvgyαα令y=0，铅球落地的距离为)22(cos)2sin(sincos212222−++=ααααvghgvgvx它描述了铅球投掷的距离与投掷时的出手速度和投掷角度的关系，这也是我们所要的铅球投掷模型。18由（2-1），关系式（2-2）可表示为)tan(cos2222ααxhvgx+=，由0=αddx得最佳出手角度为)(2arcsin2*ghvv+=α投掷的最远距离ghvgvx22*+=设h=1.5米，v=10米/秒，则o4.41*≈α米4.11*=x19模型2——铅球投掷模型下面将考虑铅球的投掷过程建立铅球投掷模型。关于铅球的投掷过程我们假设：1、滑步阶段为水平运动，铅球随人的身体产生一个水平的初速度。0v2、在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间。0t3、在运动员用力的时间内，运动员作用在铅球上的推力大小F是不变的，力的方向与铅球的出手角度相同。α用这三个假设代替模型1中的假设3来进一步组建铅球的投掷模型。20模型(2-2)很好地描述了铅球出手以后的运动状况，因此模型2主要在于建立描述铅球出手速度的形成过程以得到出手速度与出手角度之间的依赖关系。若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹的水平和铅垂方向的坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假设3我们有αcos)(Ftxm=′′)32(sin)(−−=′′mgFtymα式中m为铅球的质量，F是对铅球的推力，为力的方向既铅球的出手角度。α根据假设2，令t=0时运动员开始用力推球，时铅球出手，在区间上积分（2-3）可得0tt=)t,0(021100cos)(CtmFtx+=′α2000sin)(CgttmFty+−=′α其中分别是t=0时铅球的水平与垂直的初速度。21,CC由假设1，有0,201==CvC于是我们得到000cos)(vtmFtx+=′α000sin)(gttmFty−=′α由此可以得到铅球的合速度，即铅球的出手速度2002002020)sin()cos()()(gttmFvtmFtytxv−++=′+′=αα22)42(cos2)sin2(00020222−++−+=ααvtmFvtgmFgmF式中是推铅球时力的作用时间。0t将(2-4)与(2-2)合并就得到了铅球掷远的数学模型。23)22(cos)2sin(sincos212222−++=ααααvghgvgvx)42(cos2)sin2(00020222−++−+=ααvtmFvtgmFgmFv分析出手速度模型(2-4)，不难看出v随着F和的增加而增大，显然v随着的增加而增大。这与我们的常识也是一致的。由于，由(2-4)式还可以看出v将随着的增加而减少。因此，当推力F和作用时间不变时，运动员要提高铅球的出手角度，就必须以降低出手速度为代价，所以对于铅球投掷来说，模型1所给出的“最佳出手角度”不一定是最佳的。0t0v20παα0tα24进一步分析铅球投掷模型2，我们还可以得到铅球投掷存在一个最佳出手角度，它要小于模型1所给出的最佳角度。对模型2还可以给出类似于模型1的全部分析，这些我们留给读者去完成。思考题：1、建立跳高的数学模型。25§3减肥的数学模型问题：如何建立减肥的数学模型？问题分析：“肥者”从某种意义下说就是脂肪过多以至超过标准，数学建模就要由此入手。模型假设：(1)设某人每天从食物中摄取的热量是a焦耳，其中b焦耳用于新陈代谢（即自动消耗），而从事工作、生活每天每千克体重必须消耗α焦耳的热量，从事体育锻炼每千克体重消耗β焦耳的热量。(2)某人以脂肪形式储存的热量是百分之百地有效，而1千克脂肪含热量是42000焦耳。26(3)设体重W是时间t的连续可微函数，即W＝W(t)。数学建模：每天：体重的变化＝输入－输出输入：指扣除了新陈代谢之外的净吸收量。输出：就是进行工作、生活以及体育锻炼的总耗量。于是每天净吸收量＝42000ba−每天净输出量＝w42000βα+所以在t到t＋t时间内体重的变化：∆ttwtbatwttw∆+−∆−=−∆+)(4200042000)()(βα27体重变化的数学模型：)13()0(42000)()(0−=+−−=βα应用分离变量法，解方程(3-1)得)23(42000)()(ln1−+=+−−+−Ctwbaβαβα利用初始条件得0)()(ln1wbaCβαβα+−−+−=从而得)33()(42000)(0−++−−−+−=+−tewbabawβαβαβαβα28对(3-3)式求导得)43(42000)()(42000)(0−+−−=+−tewbadtdwβαβα由(3-1)、(3-3)及(3-4)可以对减（增）肥分析如下：１、若a－b，即净吸收大于总消耗，0，则体重增加。0)(wβα+dtdw２、若a－b，即净吸收小于总消耗，0，则体重减少。0)(wβα+dtdw３、若a－b＝，即净吸收等于总消耗，=0则体重不变。0)(wβα+dtdw４、当t→＋∞时，由(3-3)式知βα+−→batW)(29这表明只要适当控制a（进食）、b（新陈代谢）、（工作、生活）、（体育锻炼），要使体重等于多少是“可能”的.αβ正确的减肥策略最主要是有一个良好的饮食、工作和锻炼的习惯，即要适当控制a、α＋β。对于少数肥胖者和运动员来说，研究不伤身体的新陈代谢的改变也是必要的。30思考题：某人每天由饮食获取10500焦耳的热量，其中5040焦耳用于新陈代谢。此外每千克体重需支付67.2焦耳热量作为运动消耗。其余热量则转化为脂肪。已知脂肪形式储存的热量利用率为100%，问此人的体重如何随时间变化？31§4追踪问题的数学模型问题：我辑私舰雷达发现距d海里处有一艘走私船正以匀速沿直线行驶，辑私舰立即以最大的速度（匀速）追赶。若用雷达进行跟踪，保持舰的瞬时速度方向始终指向走私船，试求辑私舰的运动轨迹及追上的时间。av)(留作自学3