25

251已知yx3x计算在x2处当x分别等于101001时的y及dy解y|x2x1[(21)3(21)](232)18dy|x2x1(3x21)x|x2x111y|x2x0.1[(20.1)3(20.1)](232)1161dy|x2x0.1(3x21)x|x2x0.111y|x2x001[(2001)3(2001)](232)0110601dy|x2x001(3x21)x|x2x0010112设函数yf(x)的图形如图所示试在图(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在点x0的dy、y及ydy并说明其正负解(a)y0dy0ydy0(b)y0dy0ydy0(c)y0dy0ydy0(d)y0dy0ydy03求下列函数的微分(1)xxy21(2)yxsin2x(3)12xxy(4)yln2(1x)(5)yx2e2x(6)yexcos(3x)(7)21arcsinxy(8)ytan2(12x2)(9)2211arctanxxy(10)sAsin(t)(A是常数)解(1)因为xxy112所以dxxxdy)11(2(2)因为ysin2x2xcos2x所以dy(sin2x2xcos2x)dx(3)因为1)1(111122222xxxxxxy所以dxxxdy1)1(122(4)dxxxdxxxdxxdxydy)1ln(12])1(1)1ln(2[])1([ln2(5)dyydx(x2e2x)dx(2xe2x2x2e2x)dx2x(1x)e2x(6)dyydx[excos(3x)]dx[excos(3x)exsin(3x)]dxex[sin(3x)cos(3x)]dx(7)dxxxxdxxxdxxdxydy22221||)12()1(11)1(arcsin(8)dydtan2(12x2)2tan(12x2)dtan(12x2)2tan(12x2)sec2(12x2)d(12x2)2tan(12x2)sec2(12x2)4xdx8xtan(12x2)sec2(12x2)dx(9))11()11(1111arctan2222222xxdxxxxddydxxxdxxxxxxxx4222222214)1()1(2)1(2)11(11(10)dyd[Asin(t)]Acos(t)d(t)Acos(t)dx4将适当的函数填入下列括号内使等式成立(1)d()2dx(2)d()3xdx(3)d()costdt(4)d()sinxdx(5)d()dxx11(6)d()e2xdx(7)d()dxx1(8)d()sec23xdx解(1)d(2xC)2dx(2)d(Cx223)3xdx(3)d(sintC)costdt(4)d(Cxcos1)sinxdx(5)d(ln(1x)C)dxx11(6)d(Cex221)e2xdx(7)d(Cx2)dxx1(8)d(Cx3tan31)sec23xdx5如图所示的电缆BOA的长为s跨度为2l电缆的最低点O与杆顶连线AB的距离为f则电缆长可按下面公式计算)321(222lfls当f变化了f时电缆长的变化约为多少？解ffldflfldSS38)321(2226设扇形的圆心角60半径R100cm(如图)如果R不变减少30问扇形面积大约改变了多少？又如果不变R增加1cm问扇形面积大约改变了多少？解(1)扇形面积221RS2221)21(RdRdSS将603R10036003代入上式得63.43)360(100212S(cm2)(2)RRdRRdSSR)21(2将603R100R1代入上式得72.10411003S(cm2)7计算下列三角函数值的近似值(1)cos29(2)tan136解(1)已知f(xx)f(x)f(x)x当f(x)cosx时有cos(xx)cosxsinxx所以cos2987467.01802123)180(6sin6cos)1806cos((2)已知f(xx)f(x)f(x)x当f(x)tanx时有tan(xx)tanxsec2xx所以tan13696509.01802118043sec43tan)18043tan(28计算下列反三角函数值的近似值(1)arcsin0.5002(2)arccos04995解(1)已知f(xx)f(x)f(x)x当f(x)arcsinx时有xxxxx211arcsin)arcsin(所以0002.05.0115.0arcsin)0002.05.0arcsin(5002.0arcsin20002.03263047(2)已知f(xx)f(x)f(x)x当f(x)arccosx时有xxxxx211arccos)arccos(所以)0005.0(5.0115.0arccos)0005.05.0arccos(4995.0arccos20005.03236029当x较小时证明下列近似公式(1)tanxx(x是角的弧度值)(2)ln(1x)x(3)xx111并计算tan45和ln1002的近似值(1)已知当|x|较小时f(x0x)f(x0)f(x0)x取f(x)tanxx00xx则有tanxtan(0x)tan0sec20xsec20xx(2)已知当|x|较小时f(x0x)f(x0)f(x0)x取f(x)lnxx01xx则有ln(1x)ln1(lnx)|x1xx(3)已知当|x|较小时f(x0x)f(x0)f(x0)x取xxf1)(x01xx则有xxxxx1|)1(1111tan4545001309ln(1002)ln(10002)000210计算下列各根式的的近似值(1)3996(2)665解(1)设nxxf)(则当|x|较小时有xnxffxf11)1()1()1(987.9)10004311(101000411041000996333(2)设nxxf)(则当|x|较小时有xnxffxf11)1()1()1(于是0052.2)641611(2641121646566611计算球体体积时要求精确度在2%以内问这时测量直径D的相对误差不能超过多少？解球的体积为361DVDDdV221因为计算球体体积时要求精度在2%以内所以其相对误差不超过2%即要求%23612132DDDDDVdV所以%32DD也就是测量直径的相对误差不能超过%3212某厂生产如图所示的扇形板半径R200mm要求中心角为55产品检验时一般用测量弦长l的办法来间接测量中心角如果测量弦长l时的误差101mm问此而引起的中心角测量误差x是多少？解由2sin2Rl得400arcsin22arcsin2lRl当55时2sin2Rl400sin2751847|l|lll4001)400(1122当l1847l01时00056.01.04001)4007.184(1122(弧度)