(完整版)数列前n项和的求法总结

1数列前n项和的求法总结核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。一．公式法（1）等差数列前n项和：𝑺𝒏=𝒏(𝒂𝟏+𝒂𝒏)𝟐=𝐧𝒂𝟏+𝒏(𝒏+𝟏)𝟐𝐝（2）等比数列前n项和：𝐪=𝟏时，𝑺𝒏=𝐧𝒂𝟏；𝐪≠𝟏时，𝑺𝒏=𝒂𝟏（𝟏−𝒒𝒏）𝟏−𝒒（3）其他公式：𝑺𝒏=𝟏+𝟐+𝟑+⋯+𝐧=𝟏𝟐𝒏(𝒏+𝟏)𝑺𝒏=𝟏𝟐+𝟐𝟐+𝟑𝟐+⋯+𝒏𝟐=𝟏𝟔𝒏(𝒏+𝟏)(𝟐𝒏+𝟏)𝑺𝒏=𝟏𝟑+𝟐𝟑+𝟑𝟑+⋯+𝒏𝟑=[𝟏𝟐𝒏(𝒏+𝟏)]𝟐例题1：求数列𝟏𝟏𝟐，𝟐𝟏，𝟑𝟏，，(𝐧+𝟏𝟐𝒏)，的前n项和Sn解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。练习：2二.倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1②①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn=n(a2+an)Sn=n(a1+an)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。练习：（1）3三.裂项相消法裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。例题3：求数列(n∈N*)的和解：点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。四.错位相减法错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。4例题4：求数列{nan}(n∈N*)的和解：设Sn=a+2a2+3a3+…+nan①若a=1则：Sn=1+2+3+…+n=若a≠1则：aSn=a2+2a3+…+(n-1)an+nan+1②①-②得：(1-a)Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1③则：练习：（1）（2）5（3）求：𝑺𝒏=𝟏+𝟓𝐱+𝟗𝒙𝟐+⋯+(𝐧−𝟑)𝒙𝒏−𝟏.解：𝑺𝒏=𝟏+𝟓𝐱+𝟗𝒙𝟐+⋯+(𝐧−𝟑)𝒙𝒏−𝟏①，①两边同乘以x，得𝒙𝑺𝒏=𝐱+𝟓𝒙𝟐+𝟗𝒙𝟑+⋯+(𝐧−𝟑)𝒙𝒏②①-②得，（𝟏−𝒙）𝑺𝒏=𝟏+(𝐱+𝒙𝟐+𝒙𝟑+⋯+𝒙𝒏)−(𝐧−𝟑)𝒙𝒏再用公式法里面的公式即可。五.迭加法迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。例题5：已知数列6,9,14,21,30,……其中相邻两项之差成等差数列，求它的前n项和。解：∵a2-a1=3,a3-a2=5,a4-a3=7,…,an-an-1=2n-1把各项相加得：an-a1=3+5+7+…+(2n-1)=∴an=n2-1+a1=n2+5∴Sn=12+22+…+n2+5n=+5n点拨：本题应用迭加法求出通项公式，并且求前n项和时应用到了12+22+…+n2=因此问题就容易解决了。六.分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。例题6：求S=12-22+32-42+…+(-1)n-1n2(n∈N*)解：①当n是偶数时：S=(12-22)+(32-42)+…+[(n-1)2-n2]6=-(1+2+…+n)=-②当n是奇数时：S=(12-22)+(32-42)+…+[(n-2)2-(n-1)2]+n2=-[1+2+…+(n-1)]+n2=-综上所述：=(−𝟏)𝒏+𝟏𝟏𝟐𝐧(𝐧+𝟏)点拨：分组求和法的实质是：将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和。练习：（1）（2）7作业：（2016.07.20）1.已知等差数列{𝑎𝑛}，其前n项和为𝑆𝑛，且𝑎4=9，𝑆5=35.（1）求数列{𝑎𝑛}得通项公式；（2）若𝑏𝑛=2𝑛·𝑎𝑛+n，求数列{𝑏𝑛}的前n项和为𝑇𝑛.（错位相减法）2.设数列{𝑎𝑛}满足𝑎1+3𝑎2+32𝑎3+⋯+3𝑛−1𝑎𝑛=𝑛3，n∈N∗.（1）求数列{𝑎𝑛}得通项公式；（2）若𝑏𝑛=𝑛𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前n项和为𝑆𝑛.3.设数列{𝑎𝑛}是等差数列，{𝑏𝑛}是各项都为正数的等比数列，且𝑎1=𝑏1=1，𝑎3+𝑏5=21，𝑎5+𝑏3=13.（1）求数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}得通项公式；（2）数列{𝑎𝑛𝑏𝑛}的前n项和为𝑆𝑛.