复合函数的定义域问题

复合函数的定义域问题一、复合函数的构成设()ugx是A到B的函数，()yfu是'B到'C上的函数，且B'B，当u取遍B中的元素时，y取遍C，那么(())yfgx就是A到C上的函数。此函数称为由外函数()yfx和内函数()ugx复合而成的复合函数。说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())yfgx中x的取值范围。⑵x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为()gx的值域。⑶))((xgf与))((xfg表示不同的复合函数。例1．设函数53)(,32)(xxgxxf，求))(()),((xfgxgf．⑷若)(xf的定义域为'M，则复合函数))((xgf中，Mxg)(．注意：)(xg的值域'MM．例2：⑴若函数)(xf的定义域是[0，1]，求)21(xf的定义域；⑵若)12(xf的定义域是[-1，1]，求函数)(xf的定义域；⑶已知)3(xf定义域是5,4，求)32(xf定义域．要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：⑴函数)21(xf是由A到B上的函数xu21与B到C上的函数)(ufy复合而成的函数．函数)(xf的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数xu21的值域为[0，1]．∴1210x，∴021x，即210x，∴函数)21(xf的定义域[0，21]．⑵函数)12(xf是由A到B上的函数12xu与B到C上的函数)(ufy复合而成的函数．)12(xf的定义域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-11x，∴1123x,即12xu的值域是[-3，1]，∴)(xfy的定义域是[-3，1]．要点2：若已知)(xf的定义域为A，则)]([xgf的定义域就是不等式Axg)(的x的集合；若已知)]([xgf的定义域为A，则)(xf的定义域就是函数)(xg)(Ax的值域。⑶函数)3(xf是由A到B上的函数3xu与B到C上的函数)(ufy复合而成的函数．)3(xf的定义域是[-4，5),∴A=[-4,5)即54x，∴831x即3xu的值域B=[-1，8）又)32(xf是由'A到'B上的函数32'xu与B到C上的函数)(ufy复合而成的函数，而'BB,从而32'xu的值域)8,1['B∴8321x∴,1122x∴2111x∴)32(xf的定义域是[1，211）．例3：已知函数)(xf定义域是（a,b），求)13()13()(xfxfxF的定义域．解：由题，bxabxa1313，31313131bxabxa，当baba3131，即2bab时，)(xF不表示函数；当baba3131，即2ba时，)(xF表示函数，其定义域为)31,31(ba．说明：①已知)(xf的定义域为(a,b)，求))((xgf的定义域的方法：已知)(xf的定义域为)(ba，，求))((xgf的定义域。实际上是已知中间变量的u的取值范围，即)(bau，，)()(baxg，。通过解不等式bxga)(求得x的范围，即为))((xgf的定义域。②已知))((xgf的定义域为(a,b)，求)(xf的定义域的方法：若已知))((xgf的定义域为)(ba，，求)(xf的定义域。实际上是已知复合函数))((xgf直接变量x的取值范围，即)(bax，。先利用bxa求得)(xg的范围，则)(xg的范围即是)(xf的定义域,即使函数)(xf的解析式形式所要求定义域真包含)(xg的值域，也应以)(xg的值域做为所求)(xf的定义域，因为要确保所求外含数)(xf与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数)(xf将失去解决问题的有效性。换元法其实质就是求复合函数))((xgf的外函数)(xf，如果外函数)(xf的定义域不等于内函数)(xg的值域，那么)(xf就确定不了))((xgf的最值或值域。例4：已知函数xxxf1)(,)1(x求)(xf的值域。分析：令1)(xxu，)1(x；则有1)(2uuug，)0(u复合函数)(xf是由1)(xxu与1)(2uuug复合而成，而1)(2uuug，)0(u的值域即)(xf的值域，但1)(2uuug的本身定义域为R,其值域则不等于复合函数)(xf的值域了。例5：已知函数6lg)3(222xxxf，求函数)(xf的解析式，定义域及奇偶性。分析：因为6lg)3(222xxxf定义域为{6|xx或6x}令32xu，3u；则33lg)(uuuf，且u3所以3,33lg)(xxxxf，定义域不关于原点对称，故)(xf是非奇非偶函数。然而只就33lg)(xxxf解析式而言，定义域是关于原点对称的，且)()(xfxf，所以是奇函数。就本题而言)(uf就是外函数其定义域决定于内函数32xu，3u的值域，而不是外函数)(uf其解析式本身决定的定义域了。2．求有关复合函数的解析式，例6．①已知,1)(2xxf求)1(xf；②已知1)1()1(2xxf，求)(xf．例7．①已知xxxf1)1(，求)(xf；②已知221)1(xxxxf，求)1(xf．要点3：已知)(xf求复合函数)]([xgf的解析式，直接把)(xf中的x换成)(xg即可。已知)]([xgf求)(xf的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在)]([xgf中把关于变量x的表达式先凑成)(xg整体的表达式，再直接把)(xg换成x而得)(xf。换元法就是先设txg)(，从中解出x（即用t表示x），再把x（关于t的式子）直接代入)]([xgf中消去x得到)(tf，最后把)(tf中的t直接换成x即得)(xf，这种代换遵循了同一函数的原则。例8．①已知)(xf是一次函数，满足172)1(2)1(3xxfxf，求)(xf；②已知xxfxf4)1(2)(3，求)(xf．要点4：⑴当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。⑵若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。已知)(xf满足某个等式，这个等式除)(xf是未知量外，还出现其他未知量，如)(xf、)1(xf等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出)(xf。二、练习：１．已知xxxf2)12(2，求)122(f和)322(f．解：令12212x，设2x，,22222)2()122(2f令32212x，设12x，1222223)12(2)12()322(2f．２．已知0,20,1)(,1)(2xxxxxgxxf，求))((xgf．分析：)]([xgf是用)(xg替换)(xfy中的x而得到的，问题是用)(xg中的1x替换呢，还是用x2替换呢？所以要按0x、0x分类；注：)]([xfg是用)(xf替换)(xgy中的x而得到的，问题是用)(xf替换)(xg中的1x呢，还是替换x2呢？所以要看012x还是012x，故按012x、012x分类。Key:03402)]([22xxxxxxxgf，，；注：1111232)]([222xxxxxxxfg，，，。三、总结：１．复合函数的构成；设函数)(ufy，)(xgu，则我们称))((xgfy是由外函数)(ufy和内函数)(xgu复合而成的复合函数。其中x被称为直接变量，u被称为中间变量。复合函数中直接变量x的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量u的取值范围，即是)(xg的值域，是外函数)(ufy的定义域。２．有关复合函数的定义域求法及解析式求法：⑴定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由bxga)(解x）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围（由bxa求)(xg的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域，例2（3）反映明显。⑵解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法．四：外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有：⑴当)(xf为整式或奇次根式时，xR；⑵当)(xf为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；⑶当)(xf为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；⑷当)(xf为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如0)(xxf，221)(xxxf中0x）。⑸当)(xf是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量x的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。⑹分段函数)(xfy的定义域是各段上自变量x的取值集合的并集。⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。