选修2-1第三章-空间向量与立体几何全章教案

§3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算【学情分析】：向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。【教学目标】：（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．情景引入（1）一块均匀的正三角形的钢板所受重力为500N，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60o，且|F1|=|F2|=|F3|=200N，这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？（2）八抬大轿中每个轿夫对轿子的支持力具有怎样的特点？从实际生活的例子出发，使学生对不共面的向量有一个更深刻的认识。说明不同在一个平面内的向量是随处可见的。二．新旧知识比较让我们将以前学过的向量的概念和运算回顾一下，看它们是只限于平面上呢？还是本来就适用于空间中。请学生自行阅读空间向量的相关概念：空间向量定义、模长、零向量、单位向量、相反向量、相等向量。请学生比较与平面向量的异同。向量概念的关键词是大小和方向，所以它应既适用于平面上的向量，也适合于空间中的向量，二者的区别仅仅在于：在空间中比平面上有更多的不同的方向。因此平面几何中的向量概念和知识就可以迁移到空间图形中。（1）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。如图，对于空间任何两个向量ba,，可以从空间任意一点O出发作bOBaOA,，即用同一平面内的两条有向线段OBOA,来表示ba,通过比较，既复习了平面向量的基本概念，又加强了对空间向量的认识，注重类比学习，提高学生举一反三的能力。babDBAOC三．类比推广、探求新知（2）在平面图形中向量加减法的可以通过三角形和平行四边形法则，同样对于空间任意两个向量ba,都看作同一平面内的向量，它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法和减法来进行，不需要补充任何新的知识，具体做法如下：如图，可以从空间任意一点O出发作bOBaOA,，并且从A出发作bAC，则BAbaOCba,.babDBACOC探索1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？探索2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？（1）思考《选2-1》课本P92探究题归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)让学生知道，数学中研究的向量是自由向量，与向量的起点无关，这是数学中向量与物理中矢量的最大区别。空间三个或更多的向量相加，不能同时将这些向量都用同一个平面上的有限线段来表示，但仍然可以用将它们依次用首尾相接的有向线段来表示，得到它们的和。比如：三个向量的和ADCDBCAB,一般地,空间中多个依次用首尾相接的有向线段相加的结果等于起点和终点相连的有向线段。我们常常把向量的这种性质ADCDBCAB简称为“封口向量”。四．练习巩固1．课本P92练习1-32．如图，在三棱柱111CBAABC中，M是1BB的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）1BACB;巩固知识，注意区别加减法的不同处.1)2()1(AAADABBCAB（2）1AACBAC;（3）CBACAA1解：（1）11CABACB（2）11ABAACBAC（3）11BACBACAA五．拓展与提高1．已知空间四边形ABCD，连结,ACBD，设,MG分别是,BCCD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）ABBCCD；（2）GCBDAB；（3）．GADGCM加深对相等向量和加减法的理解六．小结1．空间向量的概念：2．空间向量的加减运算反思归纳七．作业课本P106习题3.1，A组第1题（1）、（2）练习与测试：（基础题）1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。3．三个向量a,b,c互相平行，标出a+b+c.‘解：分同向与反向讨论（略）。4．如图，在三棱柱111CBAABC中，M是1BB的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）1BACB;（2）121AACBAC;（3）CBACAA1BCDMGA解：（1）11CABACB（2）AMAACBAC121（3）11BACBACAA（中等题）5．如图，在长方体///BDCAOADB中，3,4,2,OAiOBjOCk，点E,F分别是//,BDDB的中点，试用向量kji,,表示OE和OF解：jiOE423kjiOF2423。6．在上题图中，试用向量kji,,表示EF和FE解：EF=OEOF=k2，FE=--EF=--k2§3.1.2空间向量的数乘运算【学情分析】：本节，空间向量的数乘运算共有4个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共面向量、空间向量的分解定理奎屯王新敞新疆这一节是全章的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量奎屯王新敞新疆由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以alOBAP例习题的编排也主要是立体几何问题奎屯王新敞新疆当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量奎屯王新敞新疆把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间奎屯王新敞新疆然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式奎屯王新敞新疆有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题奎屯王新敞新疆【教学目标】：（1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算奎屯王新敞新疆（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题奎屯王新敞新疆（3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题【教学重点】：空间向量的数乘运算及运算律奎屯王新敞新疆【教学难点】：用向量解决立几问题奎屯王新敞新疆【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．温故知新1、空间向量的数乘运算a，其模长是a的||倍（1）当0时，a与a同向（2）当0时，a与a反向2、空间向量的数乘分配律和结合律（1）分配律：baba)(（2）结合律：aa)()(3、共线向量或平形向量类似于平面向量共线，对空间任意两个向量)0(,bba，ba//的充要条件是存在实数，使ba1、方向向量如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式tOAOPa．其中向以数乘向量及其运算律为突破口，与平面向量进行比较学习，为下面引出共面向量作铺垫。bapOAPCB二．新课讲授量a叫做直线l的方向向量.在l上取aAB，则上式可化为ABtOAOP证明：对于空间内任意一点O，PBA,,三点共线ABtAPRt使,ABtOA-OPABtOAOP由此可见，可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量判断平面内三点共线是一样的。回顾平面向量的基本定理：共面向量定理如果两个向量ba,不共线，那么向量p与向量ba,共面的充要条件是存在有序实数组),(yx，使得byxp，这就是说，向量p可以由不共线的两个向量ba,线性表示。由此可以得到空间向量共面的证明方法2、空间平面ABC的向量表示式空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：APxAByAC，或对空间任意一点O有：OPOAxAByAC。推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则点P与点A，B，C共面的充要条件是)1(zyxOCzOByOAxOP其中证明：)1(zyxOCzOByOAxOPOCzOByOAzyOP)1(OCzOByOAzOAyOAOP)()(OAOCzOAOByOAOP方向向量的引入是为了更好的说明三点共线的向量充要条件，作为特色班，可以根据实际情况补充证明过程。回顾平面向量的基本定理可以发现，平面中的基底理论成了空间向量关系的一种特殊情况——共面的证明方法，这正是由特殊到一般，由简单到复杂的一种推广，对今后理解空间向量的基底理论也是有一定辐射作用的。ACzAByOAOPACzAByAPP与点A，B，C共面本探究可以在老师的启发下，给学生自己证明，不同层次可以酌情考虑是否证明。三．典例讲练例1．一直平行四边形ABCD，过平面AC外一点O做射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且使kODOHOCOGOBOFOAOE，求证：E，F，G，H四点共面分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明EH，EF，EG共面。下面我们利用AD，AB，AC共面来证明。证明：因为kODOHOCOGOBOFOAOE，所以OAkOE，OBkOF，OCkOG，ODkOH，由于四边形ABCD是平行四边形，所以ADABAC，因此，OEOGEG)(ADABkACkOAkOCkOEOHOEOFOAODOAOBk)(EHEF由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面进一步：请学生思考如何证明：面AC//面EG四．练习巩固1、如图，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量。（1）CDBCAB（2）)(21BCBDAB（3）)(21ACABAF2、课本P96练习2-3ABCDEFNM3、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法证明（1）E、F、G、H四点共面（2）AC∥平面EFGH巩固知识，注意向量运算律的使用.3、略解：（1）12EGEFFGEFBDEFEH（2）111222EGEBBFABBCAC得EF∥AC，AC平面EFGH，则AC∥平面EFGH五．拓展与提高1．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且AEANBDBM31,31.求证：MN//平面CDE证明：ANBAMBMN=DECD3132又CD与DE不共线根据共面向量定理，可知DECDMN,,共面。由于MN不在平面CDE中，所以MN//平面CDE注意用空间向量的思想去解决立体几何问题的转化方法.六．小结1．空间向量的数乘运算奎屯王新敞新疆2．空间向量的运算意义和运算律解决立几问题奎屯王新敞新疆3．平面的向量表达式解决共面问题归纳知识反思方法，特点。七．作业课本P106习题3.1，A组第1题（3）、（4），第2题练习与测试：（基础题）1．已知空间四边形ABCD，连结,ACBD，设,MG分别是,BCCD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）ABBCCD；ADBCDMGA（2）1()2ABBDBC；AG（3）1()2AGABAC．MG（中等题）2、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量1DA、1DC、是（）A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若BACC