必修五基本不等式讲义

13.4基本不等式abba2一、基本不等式：2baab1、重要不等式：a2＋b2≥2ab(a、b∈R)当且仅当“a＝b”时“＝”成立。注意：（1）不等式成立的条件是“a＝b”，如果a、b不相等，则“＝”不成立；（2）不等式的变形：①ab≤222ba②ab≤2)2(ba③222ba≥2)2(ba≥ab④2(a2＋b2)≥(a＋b)22、基本不等式：2ba≥ab(a、b∈R＋)当且仅当“a＝b”时“＝”成立。注意：（1）内容：a＞0，b＞0，当且仅当“a＝b”时“＝”成立；（2）其中2ba叫做正数a、b的算术平均数，ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。例1：求证对于任意实数a，b，c，有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时等号成立。【证明】：∵a2＋b2≥2abc2＋b2≥2bca2＋c2≥2ac∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca当且仅当a＝b＝c时等号成立。变式练习1：若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2ab，2ab，a2＋b2中最大的一个是（）A：a2＋b2B：2abC：2abD：a＋b变式练习2：下列不等式：（1）x＋x1≥2；（2）｜x＋x1｜≥2；（3）若0＜a＜1＜b，则logab＋logba≤－2；（4）若0＜a＜1＜b，logab＋logba≥2。其中正确的是_______________。均值不等式推广：ba112≤ab≤2ba≤222ba调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数当仅且当“a＝b”时“＝”成立。2二、最值定理已知x、y都是正数。（1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P，即x＋y≥2xy；（2）如果和x＋y就定值S，那么x＝y时，积xy有最大值42S，即xy≤2)2(yx。利用基本不等式必须满足三个条件：“一正”、“二定”、“三取等”。应用一：求最值例2：已知函数f(x)＝3x＋x12(x≠0)（1）当x＞0时，求函数的最值；（2）当x＜0时，求函数的最值；【解析】：（1）当x＞0时，f(x)＝3x＋x12≥2xx123＝12当且仅当3x＝x12，即x＝2时，“＝”成立。（2）当x＜0时，－x＞0，f(x)＝3x＋x12＝－(－3x＋x12)≤－2xx123≤－12，当且仅当－3x＝－x12时，即x＝－2时，“＝”成立。变式练习：求下列函数的最值（1）y＝3x2＋221x（2）y＝x＋x1应用二：凑项例3：已知x＜45，求函数f(x)＝4x－2＋541x的最大值。【解析】：解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5,5404xx，11425434554yxxxx231当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。变式练习1：f(x)＝31x＋x(x＞3)的最小值为_____________。3例4：当0＜x＜4时，求f(x)＝x(8－2x)的最大值。【解析】：当，即x＝2时取等号当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。变式练习1：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。【解析】：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。变式练习2：203x，求函数f(x)＝)32(xx的最大值。应用三：分离例5：若x＞0，求函数f(x)＝132xxx的最值。变式练习1：当x＞0时，则f(x)＝122xx的最大值为________。变式练习2：已知x＞－1，求函数f(x)＝11072xxx的最小值。【解析】：当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。变式练习3：若对任意x＞0，13x2xx≤a恒成立，则a的取值范围为___。应用四：整体代换例6：已知0,0yx，且112yx，则yx的最小值是______________。4变式练习1：已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则yx11的最小值为________。变式练习2：已知0,0yx，且212yx，则yx的最小值是______________。变式练习3：若函数f(x)＝2xa－2(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0，其中m、n均大于0，则nm21的最小值为_____________。变式练习4：设x＞0，y＞0且x＋2y－2xy＝0，若x＋2y－m≥0恒成立，则实数m的取值范围是______________。【解析】：x＋2y－2xy＝0，y21＋x1＝1，则(x＋2y)(y21＋x1)≥4，故m≤4变式练习5：已知正项等比数列{na}满足2017a＝22016a＋32015a，若存在不同的两项pa、ma使得mpaa＝33×1a，则pm41的最小值是______________。【解析】：611应用四：条件最值例7：若实数满足2ba，则ba33的最小值是___________。【解析】：ba33和都是2ba正数，ba33≥632332baba当ba33时等号成立，由2ba及ba33得1ba即当1ba时，ba33的最小值是6。变式练习1：若2loglog44yx，求yx11的最小值，并求x，y的值。【解析】：∵log4x＋log4y＝log4(x×y)＝2，∴x×y＝16∴yx11＝xyyx＝16yx≥162xy＝21，当且仅当x＝y＝4时“＝”成立。5变式练习2：已知函数f(x)＝4x＋xa(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝__________。【解析】：6变式练习3：设x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝1，若yx1＋zyx－m≥0恒成立，则实数m的取值范围是_________________。【解析】：yx1＋zyx－m≥0恒成立，则yx1＋zyx≥m恒成立，则令f(x)＝yx1＋zyx＝yxzyx＋zyx＝1＋yxz＋zyx≥3，故m≤3。应用五：换元例8：求函数f(x)＝4522xx的最值。【解析】：f(x)＝41422xx＝42x＋412x[不能用均值不等式：∵42x＋412x≥2，当且仅当42x＝412x，即：x2＋4＝1，x2＝－1，此时x没有实数解。]f(x)＝41422xx＝42x＋412x令42x＝t(t≥2)∴f(t)＝t＋t1(t≥2)函数f(t)在,2上单调递增。∴当t＝2时，f(t)有最小值25即42x＝2，x＝0，f(x)min＝25变式练习1：求函数f(x)＝1922xx的值域。变式练习2：求函数f(x)＝),0(,sin2sinxxx的最小值。6课后综合练习1、设a、b是正实数，以下不等式：（1）ab＞baab2；（2）a＞｜a－b｜－b；（3）a2＋b2＞4ab－3b2；（4）ab＋ab2＞2。恒成立的序号为（）A：（1）（3）；B：（1）（4）；C：（2）（3）；D：（2）（4）【解析】：D（1）≥（2）a＋b＞｜a－b｜（3）a2＋3b2＋b2－4ab＝a2＋4b2－4ab≥4ab－4ab＝0；2、若a、b均大于1的正整数，且ab＝100，则lga×lgb的最大值是（）A：0B：1C：2D：25【解析】：B3、若x＞0，则x＋x4的最小值是（）A：2B：3C：22D：4【解析】：D4、已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为（）A：31B：21C：43D：32【解析】：C5、设a＞0，b＞0若3是a3与b3的等比中项，则a1＋b1的最小值（）A：8B：4C：1D：41【解析】：B6、函数f(x)＝1222xxx(x＞－1)图象的最低点坐标是__________。【解析】：(0，2)7、若a＞0，b＞0，且x＝1是函数f(x)＝12x2―2ax―2b的零点，则ab的最大值为______。【解析】：98、若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围。【解析】：ab≥99、已知x＞0，y＞0，且x2＋22y＝1，求x21y的最大值。【解析】：42310、已知不等式x2－ax＋a－2＞0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，其中x1＜0＜x2，则x1＋x2＋12x＋22x的最大值为（）7A：23B：0C：2D：－23【解析】：∵x1＜0＜x2，∴x1×x2＝a－2＜0∴x1＋x2＋12x＋22x＝x1＋x2＋1221)(2xxxx＝a＋22aa＝a－2＋24a＋4≤011、如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD上任一点，且BE＝BA＋BC，则1＋1的最小值为_______________。【解析】：22312、若两个正实数x，y满足x1＋y4＝1，且不等式x＋4y＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是()A：(－1，4)B：(－∞，－1)∪(4，＋∞)C：(－4，1)D：(－∞，0)∪(3，＋∞)【解析】：选B∵不等式x＋y4m2－3m有解，∴x＋y4min＜m2－3m，∵x＞0，y＞0，且1x＋4y＝1，∴x＋y4＝x＋y41x＋4y＝4xy＋y4x＋2≥24xy·y4x＋2＝4，当且仅当4xy＝y4x，即x＝2，y＝8时取等号，∴x＋y4min＝4，∴m2－3m＞4，即(m＋1)(m－4)＞0，解得m＜－1或m＞4，故实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．13、某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为400平方米的三级污水处理池，如图所示，池外圈造价为每米200元，中间两条隔墙造价为每米250元，池底造价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖).若使水池的总造价最低，那么污水池的长和宽分别为()A：40米，10米B：20米，20米C：30米，340米D：50米，8米【解析】选C.设总造价为y元，污水池的长为x米，则宽为米，总造价y=(2x+2·)·200+2×250·+80×400=400(x+)+32000≥400×2+32000=56000(元)，当且仅当x=，即x=30时等号成立，此时污水池的宽为米.DBCAE