第3讲-系统的数学模型

第三讲第三讲第三讲第三讲系统的数学模型系统的数学模型系统的数学模型系统的数学模型数学模型：描述系统动态特性的数学表达式，称为系统的数学模型，它揭示了系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系。作用：数学模型是设计和分析控制系统的依据。建立正确、合理的系统的数学模型是关键性的步骤。)()()()(22tftkxtxdtdctxdtdmiooo=++第三讲第三讲第三讲第三讲系统的数学模型系统的数学模型系统的数学模型系统的数学模型建模基本方法：解析法和实验法。3.1系统运动微分方程的建立一、依据反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论，如达朗贝尔原理、牛顿第二运动定律等。达朗贝尔原理——作用于每一个质点上的合力，同质点惯性力形成平衡力系。()()0=+−∑tftxmiii̇̇3.1系统运动微分方程的建立二、步骤（1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程；（2）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各变量之间的数学关系式；注意因果关系和负载效应；（3）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理；（4）消去中间变量，得到输出——输入关系式；（5）整理成规范形式。)()()()(22tftkxtxdtdctxdtdmiooo=++�机械系统机械系统机械系统机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：质量、弹簧和阻尼三个要素：质量、弹簧和阻尼三个要素：质量、弹簧和阻尼三个要素：�质量质量质量质量mffffmmmm((((tttt))))参考点参考点参考点参考点xxxx((((tttt))))vvvv((((tttt)))))()()(22txdtdmtvdtdmtfm==�弹簧弹簧弹簧弹簧KKKKffffKKKK((((tttt))))ffffKKKK((((tttt))))xxxx1111((((tttt))))vvvv1111((((tttt))))xxxx2222((((tttt))))vvvv2222((((tttt))))[][]∫∫∞−∞−=−==−=ttKdttvKdttvtvKtKxtxtxKtf)()()()()()()(2121KKKK————————刚度。刚度。刚度。刚度。�阻尼阻尼阻尼阻尼CCCCffffCCCC((((tttt))))ffffCCCC((((tttt))))xxxx1111((((tttt))))vvvv1111((((tttt))))xxxx2222((((tttt))))vvvv2222((((tttt))))[]dttdxCdttdxdttdxCtCvtvtvCtfC)()()()()()()(2121=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==−=CCCC————————阻尼。阻尼。阻尼。阻尼。�电气系统（概括了解）电气系统（概括了解）电气系统（概括了解）电气系统（概括了解）�电阻电阻电阻电阻电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。RRRRiiii((((tttt))))uuuu((((tttt)))))()(tRitu=�电容电容电容电容∫=dttiCtu)(1)(CCCCiiii((((tttt))))uuuu((((tttt))))�电感电感电感电感dttdiLtu)()(=LLLLiiii((((tttt))))uuuu((((tttt))))机械平移动力学系统注意——弹簧和质量在静止平衡时的那一点为系统的平衡工作点。这样的坐标系原点选择消除了重力的影响。设系统的输入量为外力fi(t)，输出量为质量块的位移xo(t)，现研究外力fi(t)与位移xo(t)之间的关系。三、举例三、举例输入fi(t)的作用下——质量块m有加速度，从而产生速度和位移——质量块的速度、位移使阻尼器和弹簧产生粘性阻尼力fc(t)和弹性力fk(t)——两个力反作用于质量块，影响输入fi(t)的作用效果，从而使质量块的速度和位移发生变化，产生动态过程。弹簧和质量在静止平衡时的那一点为系统的平衡工作点。这样的坐标系原点选择消除了重力的影响。三、举例三、举例)()()()(2txdtdmtftftfokci=−−)()(txdtdctfoc=)()(tkxtfok=)()()()(22tftkxtxdtdctxdtdmiooo=++方块图描述了系统中信号转换、传递的过程，给出了系统的工作原理。系统的数学模型可用方块图表示：根据牛顿第二定律，有由阻尼器、弹簧的特性消去中间变量，写成规范（标准）形式——二阶常系数线性微分方程)()()()(22tftkxtxdtdctxdtdmiooo=++规范（标准）形式——输入在等式右侧输入在等式右侧输出在等式左侧输出在等式左侧各阶导数项按降幂排列各阶导数项按降幂排列电网络系统设输入端电压uuuuiiii(t)(t)(t)(t)为系统输入量。电容器cccc两端电压uuuuoooo(t)(t)(t)(t)为系统输出量。现研究输入电压uuuuiiii(t)(t)(t)(t)和输出电压uuuuoooo(t)(t)(t)(t)之间的关系。电路中的电流i(t)i(t)i(t)i(t)为中间变量。根据电压方程，消去中间变量i(t)i(t)i(t)i(t)，得上式为二阶常系数线性微分方程。∫=dttiCtuo)(1)()()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo=++)()()()(tututidtdLtRioi−=+四、系统运动微分方程的一般形式)()()()(0.1)1(1)(tyatyatyatyannnn++⋅⋅⋅++−−)()()()(01)1(1)(trbtrbtrbtrbmmmm++⋅⋅⋅++=⋅−−mn≥),,2,1,0(niai⋅⋅⋅=),,2,1,0(mjbj⋅⋅⋅=设y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则有是由系统结构和参数决定的常数。四、系统运动微分方程的一般形式特征方程的根称为特征根，它们是系统系数的组合。N阶系统有n个特征根。)()()()(0.1)1(1)(tyatyatyatyannnn++⋅⋅⋅++−−)()()()(01)1(1)(trbtrbtrbtrbmmmm++⋅⋅⋅++=⋅−−mn≥),,2,1,0(niai⋅⋅⋅=),,2,1,0(mjbj⋅⋅⋅=0)()()()(0.1)1(1)(=++⋅⋅⋅++−−tyatyatyatyannnn00111=++⋅⋅⋅++−−aaaannnnλλλ齐次方程为特征方程为五、建立动态方程时应注意的问题⑴变量形式的选取问题系统在某一平衡点工作，变量偏离平衡点的偏离量很小，一般只研究系统在平衡点附近的动态特性。因此，总是选择平衡工作点作为坐标系原点，变量采用增量形式。其优点是系统的初始条件为零，便于求解方程，便于非线性方程进行线性化处理。实际物理元件和系统都是非线性的。在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽略它们的影响，将它们视为线性元件。对于具有连续变化的非线性特性，可以采用切线法或小偏差法进行线性化处理。所谓线性化就是在一定范围内，用线性方程代替非线性方程的近似处理过程。从几何上看，所谓线性化就是用直线代替曲线。数学处理方法就是将曲线方程在平衡点处取泰勒级数一次近似式。(2)非线性模型的线性化问题六、线性系统的叠加原理(PrincipleofSuperposition)线性系统的线性性质：均匀性、叠加性用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统；如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时变系统。线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。叠加原理有两重含义：均匀性（齐次性）和可叠加性。这个原理是说，多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出亦增大同样的倍数。系统对输入信号的微分和积分的响应等于系统对输入信号的响应的微分和积分。3.2动态系统的传递函数(transferfunction)用系统的外部特征来揭示系统的内部特性。通过系统的输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。传递函数基本思想传递函数基本思想功能功能输入输出一、传递函数概念可以用方块图来表示一个具有传递函数G(s)的线性系统。)()()()(22tftkxtxdtdCtxdtdmooo=++)()()(2sFsXkCsmso=++kCsmssFsXsGo++==21)()()()(1)(2sFkCsmssXo++=)()()(sFsGsXo=线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。在零初始条件下，微分方程的拉氏变换为按传递函数定义，有系统输出响应：即()()()sRsCsG=例如二、传递函数的表示形式)()()()()(01110111sDsNasasasabsbsbsbsRsYsGnnnnmmmm=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++==−−−−0111)(asasasasDnnnn++⋅⋅⋅++=−−输入————输出模型输入————输出模型零————极点模型零————极点模型典型环节模型典型环节模型∏∏==−−=−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−==niimjjnmpszsKpspspszszszsKsDsNsG112121)()()())(()())(()()()(分母称为系统的特征多项式分母称为系统的特征多项式分子、分母进行因式分解，得系统传递函数的零-极点形式分子、分母进行因式分解，得系统传递函数的零-极点形式三、传递函数的零点(zero)和极点(pole)注意：传递函数的极点的数值完全取决于系统的结构参数。注意：传递函数的极点的数值完全取决于系统的结构参数。传递函数的零点传递函数的零点传递函数的极点传递函数的极点传递函数分子多项式等于零的根传递函数分子多项式等于零的根传递函数分母（特征）多项式(eigenpolynomial)等于零的根传递函数分母（特征）多项式(eigenpolynomial)等于零的根零点与输入作用位置及输入信号性质有关零点与输入作用位置及输入信号性质有关极点就是系统特征根(eigenvalue/root)，它们决定了系统的动态性能极点就是系统特征根(eigenvalue/root)，它们决定了系统的动态性能用Matlab实现传递函数模型转换例1将输入-输出模型化为零、极点模型2264230122412)(23423+++++++=ssssssssG根据Matlab运行结果，可得零、极点及增益，从而得到零、极点模型。零————极点模型零————极点模型∏∏==−−=−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−==niimjjnmpszsKpspspszszszsKsDsNsG112121)()()())(()())(()()()(