优化理论与最优控制之一：发展简史、实例分析、应用类型

第一章绪论1-1最优控制发展简史一：最优控制的发展第二次世界大战以后发展起来的自动调节原理，对设计与分析单输入单输出的线性定常系统是有效的；然而近代航空及空间技术的发展对控制精度提出了很高的耍求，并且被控制的对象是多输入多输出的，参数是时变的。面临这些新的情况．建立在传递函数基础上的自动调节原理就日益显出它的局限性来。这种局限性首先表现在对于时变系统，传递函数根本无法定义，对多输入多输出系统从传递函数概念得出的工程结论往往难于应用。在这种背景下，以状态空间概念为基础的最优控制理论渐渐发展起来。最优控制理论是20世纪50年代发展起来的现代控制理论的核心，已形成系统的理论。最优控制研究的中心问题是如何选择控制信号才能保证控制系统的性能在某种意义下最优。所要解决的问题是：按照控制对象的动态特性，选择一个容许控制，使得被控对象按照技术要求运转，同时使性能指标达到最优值。二：研究最优控制的方法在研究最优控制的方法中，有两种方法最富成效：一种是苏联学者庞特里雅金提出的“极值原理”；另一种是美国学者贝尔曼提出的“动态规划”。极值原理是庞特里雅金等人在1956至1958年间逐步创立的，先是推测出极值原理的结论，随后又提供了一种证明方法。动态规划是贝尔曼在1953年至1958年间逐步创立的，他依据最优性原理发展了变分学中的哈密顿-雅可比理论，构成了动态规划。1-2最优控制问题的实例例月球上的软着陆问题飞船靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力u(t)，以使飞船在月球表面实现软着陆，要寻求发动机推力的最优控制规律，以便使燃料的消耗为最少。设飞船质量为m(t)，高度为h(t)，垂直速度为v(t)，发动机推力为u(t)，月球表面的重力加速度为常数g。设不带燃料的飞船质量为M，初始燃料的总质量为F．初始高度为h0，初始的垂直速度为v0，那么飞船的运动方程式可以表示为：)()()()()()()(tkutmtmtugtvtvth初始条件FMmvvhh)0()0()0(00终端条件0)(0)(fftvth性能指标是使燃料消耗为最小，即约束条件max)(0utu)(ftmJ达到最大值我们的任务是寻求发动机推力的最优控制规律u(t),它应满足约束条件，使飞船由初始状态转移到终端状态，并且使性能指标为极值(极大值)。上例的情况表明：任何一个最优控制问题均应包含以下四个方面的内容：1系统数学模型2边界条件与目标值3容许控制控制向量的取值范围4性能指标不同的最优控制问题有不同的性能指标,用J表示00)(],),(),([)(xtxttutxftx0]),([ffttx)(tu1-3最优控制的应用类型设计最优控制系统时，很重要的一个问题是选择性能指标，性能指标按其数学形式可分为如下三类：1）积分型性能指标fttdtttutXLJ0]),(),([这样的最优控制问题为拉格朗日问题。2）终值型性能指标]),([ffttXJ这种性能指标只是对于系统在动态过程结束时的终端状态提出了要求，而对于整个动态过程中系统的状态和控制的演变未作要求。这样的最优控制问题为迈耶尔问题。3）复合型性能指标fttffdtttutXLttXJ0]),(),([]),([这样的最优控制问题为波尔扎问题。通过适当变换，拉格朗日问题和迈耶尔问题可以相互转换。按控制系统的用途不同，所选择的性能指标不同，常见的有：1：最小时间控制fttfdtttJ0102：最小燃料消耗控制粗略地说，控制量u(t)与燃料消耗量成正比，最小燃料消耗问题的性能指标为：fttdttuJ0|)(|3：最小能量控制设标量控制函数u2(t)与所消耗的功率成正比，则最小能量控制问题的性能指标为：fttdttuJ0)(2除了上述几种应用类型外，根据具体工程实际的需要，还可以选取其他不同形式的性能指标，在选取性能指标时需遵循以下原则：1.应能反映对系统的主要技术条件要求2.便于对最优控制进行求解3.所导出的最优控制易于工程实现1-4最优控制的研究方法当系统数学模型、约束条件及性能指标确定后，求解最优控制问题的主要方法有以下三类：1.解析法2.数值计算法3.梯度型法