椭圆最值问题常考题型分析

椭圆最值问题常考题型分析在遇到椭圆中线段或三角形周长最值问题时用函数思想有时很复杂，解题时常利用椭圆上点的性质（122MFMFa）及三角形三边关系.◆典例剖析例1、已知点)3,2(P，2F为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求2MFMP的最大值和最小值。解：设椭圆左焦点为1F，∴︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+a2-︱MF1︱，连接PF1，延长PF1交椭圆于点M1，延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知–︱PF1︱︱MP︱-︱MF1︱︱PF1︱当且仅当M与M1重合时取右等号、M与M2重合时取左等号。∵a2=10,︱PF1︱=2所以（︱MP︱+︱MF2︱）max=12,（︱MP︱+︱MF2︱）min=8结论：设椭圆12222byax的左右焦点分别为F1、F2，P(x0，y0)为椭圆内一点，M(x，y)为椭圆上任意一点，则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为a2+︱PF1︱，最小值为a2–︱PF1︱。例2、已知点P(-2,6），F2为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值。解：由题可知点P在椭圆外，PF2交椭圆于M，此点使︱MP︱+︱MF2︱值最小（求最大值方法同例1）。︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+a2-︱MF1︱连接PF1并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时︱MP︱-︱MF1︱取最大值︱PF1︱。∴︱MP︱+︱MF2︱最大值是10+37，最小值是41。结论：设椭圆12222byax的左右焦点分别为F1、F2,P(x0,y0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为a2+︱PF1︱，最小值为PF2。◆针对训练练1、已知1F是椭圆15922yx的左焦点，P是椭圆上的动点，点)1,1(A，则1PFPA的最小值是练2、椭圆13422yx的左焦点为F，直线mx与椭圆交于A，B两点，求FAB周长的最大值.