第8届（1975年于德意志民主共和国的居斯特罗）

第8届（1975年于德意志民主共和国的居斯特罗）【题1】一根杆以恒定的角速度ω绕竖直轴旋转，杆与轴的夹角为（900－α）。质量为m的质点可以沿杆滑动，摩擦系数为μ。求转动过程中，质点保持在同一高度的条件（如图8.1）。解：我们发现，采用所谓“滑动摩擦角”概念是有用的。如果滑动摩擦系数等于某一角度的正切值，就称这个角ε为“滑动摩擦角”（如解图8.1所示），即tanε＝μ我们必须求出把物体压向平台的合力。如果合力与平面法线之间的夹角在滑动摩擦角之内，则摩擦力大到足以阻止运动。极限情形是合力与摩擦角的一臂重合。对于本题，当我们寻找质点在旋转杆上向上滑动的极限情况时，合力应位于（α＋ε）角的双臂内（如解图8.2所示）。图8.1mgm2rr解图8.1解图8.2把质点压在杆上的力是重力mg与mω2r＝mω2Lcosα的合力。故质点在向上滑动的极限情形下，角（α＋ε）的正切为gLmgLmcoscos)tan(22同理，质点向下滑动的极限情形可用角（α＋ε）的正切得到。于是，如果)tan(cos)tan(2gL－则质点在旋转杆上处于平衡。从边界条件可以看出，存在着一个较高位置（Lf）和一个较低位置（La），质点在这两位置之间的任何地方将处于随遇解图8.3平衡状态。在这两边界之外，质点无法平衡，质点将向上或向下滑动。随遇平衡位置Lf－La可由边界条件导出：)tantan1(costan22232gLLaf解图8.3对不同的α角，画出质点在杆上哪些部分处于随遇平衡，（取ω＝10s-1，μ＝0.268，ε＝150）。虚线表示无摩擦时质点非稳定平衡位置。【题2】求出厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件，并就不同类型的透镜讨论可行性。解答：我们必须知道厚透镜的性质。厚透镜由下述数据表征：球形表面的半径r1和r2，厚0.10.20.3m450600150300ABFr1dfr21,3,5度d和折射率n（如解图8.4所示）。焦距f＝BF由下式给出21211)1(11)1(1rrnndrrnf焦距是从主点B算起的。B点离表面的距离为解图8.4)1()(212ndrrndrhBA上述公式对任意厚度的厚透镜都成立，但只对近轴光线才给出满意的结果，因为是在一定的近似下得到的。光被透镜色散。透镜对波长λa的折射率是na，对波长λb的折射率是nb。按折射率的幂次整理焦距公式，得f（r1＋r2－d）n2＋[2fd－f（r1＋r2）－r1r2]n－fd＝0这是一个二次方程。给定一个f值，应有两个n值，因此，我们的问题可望解决。先后以na和nb代入方程，并令其相等：)111)(1()111)(1(21212121rrnndrrnrrnndrrnbbbaaa结果得出)11(21banndrr如果半径r1、r2与厚度d满足这一条件，则对两个不同的波长，即对两个不同的折射率来说，焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积na·nb在起作用，而不是色散（nb－na）。因为折射率大于１，于是括号内的数值小于１，说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜是相当厚的。结果讨论：首先透镜不能是平凸或平凹的，因为这种透镜有无限大的半径。其次，r1和r2之一为负的发散透镜是许可的，但不能是双凹透镜。如果要求的不是f而是（f－h）对两个折射率有相同的值（注：即要求消除焦点色差），实现这一点也是可能的，但却是一个复杂得多的问题。【题3】质量为m的一簇离子在P点以同一速度v向不同方向散开（如图8.2）。垂直纸面的均匀磁场B将这些离子聚焦于R点，距离PR＝2a，离子的轨道应是对称的。试确定磁场区的边界。解：在磁场B中，作用于电量为Q、速度为v的质点上的洛仑兹力为QvB。结果使粒子在半径为r的圆轨道上运动，即：rmvQvB2质量为m的所有粒子都在半径为图8.2QBmvr的相同的圆轨道上运动。离开磁场后，它们将沿最后的切线方向直线飞行。磁场边界应按所有离子都打在同一点R的要求去寻找。要解决的数学问题是，粒子应从这PRaav磁场xyrabAR些半径为r的圆的何处离开，才能使它们的切线在R点相交。这些半径为r的圆的圆心都位于y轴上（如解图8.5所示）在半径为r的圆轨道上运动的粒子，在坐标为（x，y）的A点离开磁场，沿切线飞向R。由相似三角形得到：解图8.5yxaxby圆的方程为222)(rbyx消去（y－b），得到满足条件的A点的集合，因此，表示磁场边界的函数为：22)(xrxaxy这是一个四次函数。只要在第一象限画出这个函数的曲线，把它对y轴反演即可。表示磁场边界的函数的形式取决于给定的距离a和半径r的相对大小（见解图8.6（a），（b），（c））。如果半径r小于a（小速度强磁场），则磁场边界无限延伸，向任何方向出发的离子也都能聚焦①。如果半径r等于a，所有的离子也都能聚焦②。磁场边界在P和R点处垂直出发，处在有限的范围内。如果半径r大于a，边界更为平坦。那些出发方向比P点切线更陡的离子不能达到R点。解图8.6（注：①原文“向任何方向出的离子都能聚焦”的结论不妥。在r＜a时，v与x轴夹角大于900的离子无法聚焦。②在r＝a时，“所有的离子也都能聚焦”的结论也不妥。v与x轴夹角大于900的离子也无法聚焦。）【实验题】测定有两个接点的某一半导体器件的特性曲线。其最大允许负载为0.25W，可供使用的是：对所有量程内阻均已知的两个电表，一个9V的电池，一个可调电阻器及一个固定电阻器。解答：通过伏安计测量电压和安培计测量电流所得到的特性曲线，表明该半导体器件是齐纳（Zener）二极管。（注：原文无详细解答，没有给出测量伏安特性的具体线路）PRPPRR(a)(b)(c)1,3,5