2013年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷

2013年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（3月8日下午4：00—6：00）班级：:姓名：成绩：题号一二三四五合计得分评卷人复核人考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中有且只有一个是正确的。将你选择的答案的代号填在题后的括号内。每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1、已知01x，则2x，x，x1的大小关系是（）A、xxx12B、xxx21C、xxx12D、21xxx2、如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作BPPQ，PQ交CD于Q，若2CQAP，则正方形ABCD的面积为（）A、246B、16C、2812D、323、若实数a，b满足0222bab，则a的取值范围是（）A、1aB、1aC、1aD、1a4、如图，在四边形ABCD中，135B，120C，6AB，33BC，6CD，则AD边的长为（）A、36B、34QPACBDACDBC、24D、335、方程7311yx的正整数解（x，y）的组数是（）A、0B、1C、3D、56、已知实数x，y，z满足1yxzxzyzyx，则yxzxzyzyx222的值是（）A、1B、0C、1D、2二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、x是正整数，○x表示x的正约数个数，则③×④÷⑥等于．2、草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是．3、如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，4AM，3AN，且60MAN，则AB的长是．4、小明将1，2，3，…，n这n个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入（1n）个数，且平均值为30.75，假设这（1n）个数输入无误，则漏输入的一个数是．三、（本大题满分20分）解方程02|12|2xxMNACDB四、（本大题满分25分）如图，圆内接四边形ABCD中，CDCB.求证：ADABCBCA22ACDB五、（本大题满分25分）已知二次函数cbxaxy2和一次函数bxy，其中a、b、c满足cba，0cba．Rcba，，．（1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A、B；（2）过（1）中的两点A、B分别作x轴的垂线，垂足为1A、1B．求线段11BA的长的取值范围。EGFQBCADP2013年全国初中数学联赛（初三组）初试解答一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1.已知10x-，则2x-，x，1x的大小关系是（）A．21xxx-B．21xxx-C．21xxx-D．21xxx-解：由10x-，得10x+，从而2(1)0xxxx+=+，所以2xx-，又211(1)(1)0xxxxxxx--+-==，所以1xx．故选D．2.如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP＝CQ＝2，则正方形ABCD的面积为A．642+B．16C．1282+D．32解：如图，过P分别作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD，垂足分别为E、F、G．易证Rt△EPB≌Rt△FQP≌Rt△FDP，所以FQ＝FD＝EP＝2，因此正方形ABCD的边长为222+，所以面积为2(222)1282+=+．故选C．3.若实数a，b满足2220bab+-+=，则a的取值范围是（）A．a≤-1B．a≥-1C．a≤1D．a≥1解：将原式看作为关于b的一元二次方程，则其判别式2(2)41(2)0aD=--创+?，解得a≤-1．故选A．4.如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=6，BC=33-，CD=6，则AD边的长为（）A．63B．43C．42D．33解：过A和D点向BC作垂线，垂足为M和N，那么BM=AM=3，CN=3，DN=33，6MNBMBCCN=++=，所以222()ADMNDNAM=+-=48，所以AD=43．故选B．5.方程1137xy+=的正整数解(,)xy的组数是（）A．0B．1C．3D．5解：不妨设0xy?，则11xy£，所以327y£，解得4y£．又显然3y³，即34y＃．经验证：3,4yy==均不符合条件．所以，符合条件的解的组数为0组．故答案选A．DCABNMDCABQBCADP6.已知实数,,xyz满足1xyzyzzxxy++=+++，则222xyzyzzxxy+++++的值是（）A．1-B．0C．1D．2解：显然0xyz++?，否则3xyzyzzxxy++=-+++由已知得()()xyzxyzxyzyzzxxy++++=+++++即222xyzxyzxyzyzzxxy+++++=+++++所以222xyzyzzxxy+++++0=．故选B．二、填空题（本大题满分28分,每小题7分）1.x是正整数，○x表示x的正约数个数，则③×④÷⑥等于．解：③2=，④3=，⑥4=，所以③×④÷⑥32=．故填32．2.草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是．解：设草原上原有草量为a，每天长出量为b，并设20头牛在x天内可以吃完这片青草．因为一头牛一天的吃草量相等，根据题意可得方程组24607024306020abababxx+++==创．由246070243060abab++=创得480ab=．代入60306020ababxx++=´中，得34801020xbbx+=，解得96x=．故填96．3.如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM=4，AN=3，且60MAN??，则AB的长是．解：延长AM交DC的延长线于F，则△AMB≌△FMC．则CF=AB，则NF=32AB，过N作NH垂直AF于H，则AH=1322AN=，332NH=，故3132422HF=?=，23313()()722NF=+=．所以21433ABNF==．故填143．4.小明将1，2，3，…，n这n个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入(1)n-个数，且平均值为30.75，假设这(1)n-个数输入无误，则漏输入的一个数是．解：依题意得1230.75(1)23nnn+++??++，MNDACBEDBAC所以230.7522nn+＃，即59.561.5n＃，所以n=60或61．因为30.75(1)n-是整数，所以n=61．所以漏输入的数为616230.7560462´-?．故填46．三、（本大题满分20分）解方程2|21|20xx---=．解：当12x³时，原方程可化为2(21)20xx---=，解得112x=+，212x=-．又因为21122x=-，故应舍去．······················································10分当12x时，原方程可化为2(21)20xx--+-=，解得33x=-，41x=．又因为4112x=，故应舍去．所以原方程的解为12x=+和3x=-．················································20分四、（本大题满分25分）如图，圆内接四边形ABCD中，CB=CD，求证：22CACBABAD-=?；证明：连结BD、AC交于点E，则BAECAD??，ABEACD??，所以△ABE∽△ACD，·····································································5分所以ABACAEAD=，所以ABADACAE??．·····································································10分又CBECAB??，BCEACB??，所以△CBE∽△CAB，······································································15分所以CBCACECB=，所以2CBCACE=?，··········································································20分所以22CBABADCACECAAECA+???，所以22CACBABAD-=?．·································································25分五、（本大题满分25分）已知二次函数2yaxbxc=++和一次函数ybx=-，其中a、b、c满足abc，0abc++=．(,,abcÎR)．（1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A、B；（2）过（1）中的两点A、B分别作x轴的垂线，垂足为A1、B1．求线段A1B1的长的取值范围．（1）证明：由2yaxbxcybxìï=++ïíï=-ïî消去y得220axbxc++=，2222223444()44()4[()]24cbacacacaaccacD=-=---=++=++．········5分∵0abc++=，abc，∴0a，0c．∴2304c，∴0D，即两函数的图象有两个不同的交点．·······································10分（2）解：设方程220axbxc++=的两根为1x和2x，则x1+x22ba=-，x1x2ca=．·································································15分22211121212||()()4ABxxxxxx=-=+-2222224444()4()bcbacacacaaaa----=--==22134[()1]4[()]24cccaaa=++=++．·····························································································20分∵0abc++=，abc，∴0a，0c∴aacc--，解得122ca--．∴3211||AB12，故311||AB23．············································25分