2001年全国初中数学竞赛(答案)

2001年全国初中数学竞赛一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分，每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中只一个选项是正确的，请将正确选项的代号填写在题后面的括号里）题号123456答案1、化简：)2(2)2(2234nnn，得（）A、8121nB、12nC、87D、472、如果cba,,是三个任意整数，那么2,2,2accbba（）A、都不是整数B、至少有两个整数C、至少有一个整数D、都是整数3、如果ba,是质数，且013,01322mbbmaa，那么baab的值为（）A、22123B、22125或2C、22125D、22123或24、如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为（）A、6B、8C、10D、125、如图，若PA=PB，,2ACBAPBAC与PB交于点D，且PB=4，PD=3，则DCAD等于（）A、6B、7C、12D、166、若ba,是正数，且满足)111)(111(12345ba，则a与b之间的大小关系是（）A、baB、baC、baD、不能确定二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）7、已知2323,2323yx，那么22yxxy__________。8、若28,1422xxyyyxyx，则yx的值为__________。9、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于__________。10、销售某种商品，如果单价上涨%m，则售出的数量就将减少150m，为了使该商品的销售总金额最大，那么m的值应该确定为__________。11、在直角坐标系xOy中，x轴上的动点)0,(xM到定点)1,2(),5,5(QP的距离分别为MP和MQ，那么当MQMP取最小值时，点M的横坐标x________。12、已知实数ba,满足122baba，且22baabt，那么t的取值范围是________。三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）14、如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A，B两点，与ST交于点C。求证：PBPAPC1121115、已知关于x的方程011721122xxaxxa的实数根。（1）求a的取值范围。（2）若原方程的两个实数根为21,xx，且113112211xxxx，求a的值。2001年全国初中数学竞赛一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分，每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中只一个选项是正确的，请将正确选项的代号填写在题后面的括号里）题号123456答案CCBBBA1、化简：)2(2)2(2234nnn，得（）A、8121nB、12nC、87D、47答：C将原式化简，8722)12(2)2(2)2(22313134nnnnn七年级整式的除法2、如果cba,,是三个任意整数，那么2,2,2accbba（）A、都不是整数B、至少有两个整数C、至少有一个整数D、都是整数答：C因为cba,,是任意整数，所以cba,,中至少有两个同为奇数或同为偶数。而两个奇数或两个偶数的和是偶数，故2,2,2accbba中至少有一个是整数。如当3,2,,1cba时，252,232,22cbbaca，此时，恰有一个整数。预初奇偶分析3、如果ba,是质数，且013,01322mbbmaa，那么baab的值为（）A、22123B、22125或2C、22125D、22123或2答：B当ba时，2baab当ba时，ba,为方程0132mxx的两个根，所以13ba，因为ba,为质数，故ba,的值只可能是2或11，所以22125112211baab初一韦达定理4、如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为（）A、6B、8C、10D、12答：B设小矩形的长为a，宽为b，根据题意，可得aabbka22)4(2解得8k几何计数5、如图，若PA=PB，,2ACBAPBAC与PB交于点D，且PB=4，PD=3，则DCAD等于（）A、6B、7C、12D、16答：B如图，以点P为圆心，PA为半径作圆，因为ACBAPB2，所以点C的圆周上，延长BP交⊙P于点E，由相交弦定理，得7)34)(34(DEBDDCAD。圆相似三角形6、若ba,是正数，且满足)111)(111(12345ba，则a与b之间的大小关系是（）A、baB、baC、baD、不能确定答：Ababaababbaababbaabbaba,0,0240,0,02411112345)(111)(111111)111)(111(1234522即由于初一整式的乘法二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）7、已知2323,2323yx，那么22yxxy__________。答：970因为102323,122yxxy所以222223322)())((xyyxyxyxyxyxyxxy=970)310(10)(3)()(222xyxyyxyx初一分式的化简求值8、若28,1422xxyyyxyx，则yx的值为__________。答：6或7把两个方程相加，得42)()(2yxyx于是有0)7)(6(yxyx76yxyx或初一因式分解9、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于__________。答：1036或（1）当梯形的上底为1，下底为5，两腰长均为4的等腰梯形（如图）作BCAE交BC于E，BCDF交BC于F，易知EF=1，且BE=FC=2，由勾股定理可得3632)51(21)(213222AEBCADSBEABAEABCD梯形（2）当梯形的上底为1，下底为4时，两腰分别为5和4的直角梯形（如图）过A作AE//DC交BC于E，易知CE=1，AE=DC=4，从而BE=3，根据勾股定理的逆定理可知，.900AEB104)41(21ABCDS梯形（3）若用长为1的线段作梯形的腰时，则无法完成符号条件的梯形。梯形存在性问题10、销售某种商品，如果单价上涨%m，则售出的数量就将减少150m，为了使该商品的销售总金额最大，那么m的值应该确定为__________。答：25设原来商品单价为a元时，售出的数量为b，则单价上涨%m时，销售的总金额15625)25(150001500050150001501%)1(22mabmmabmmab所以当25m时，取得最大值。二次函数实际应用最值11、在直角坐标系xOy中，x轴上的动点)0,(xM到定点)1,2(),5,5(QP的距离分别为MP和MQ，那么当MQMP取最小值时，点M的横坐标x________。答：25作点Q关于x轴对称点)1,2(R，设直线PR的解析式为bkxy，于是有bkbk2155解出5,2bk直线PR的解解析式为52xy令0y，解出25x即为所求。下面证明0,250M使MQMP取最小值。在x轴上任取一点M，连结MP、MQ、QR，因为点Q关于x轴的对称点为R，易知x轴为QR的垂直平分线。于是MRMQRMQM,00。由三角形不等式可知PRMRMP又QMPMRMPMPR0000QMPMMQMP00即0,250M使MQMP取最小值。几何最值12、已知实数ba,满足122baba，且22baabt，那么t的取值范围是________。答：313t解法一：将tbaabbaba2222,1两式两端相加，得,12tab故21tab23,.30231)(222tbattababbababa且又于是可知ba,是关于x的方程021232txtx的两个实数根31,02123)1(223tttt解出综上所述，t的取值范围是313t解法二：由1)(1)()(2222babababaab1ab（当1ba时等号成立）12:,3222,311)33(,31,131)(1)()(32222abtababbaababbabababaab可知根据解法一有从而于是有时等号成立当即由313t代数最值基本不等式三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）解：由题设知，前5次射击的平均环数小于7.843.91.84.80.9前9次的总环数至多为2.781.097.8所以第10次射击至少得9.92.781.0108.8（环）（20分）（注：答案为9.8环的给10分）预初平均数问题14、如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A，B两点，与ST交于点C。求证：PBPAPC11211证法一：过P作STPH，垂足为H，则H是ST的中点，由勾股定理，得222222CHSHPSCHPHPC,))((22CTSCPSCHSHCHSHPS（10分）利用切割线定理和相交弦定理，有PBPAPCPBPAPBPAPCPCPCPBPAPBPAPCPBPAPCPBPACBACPBPACTSCPSPC11211,2)(2))((222即（20分）证法二：连PO交ST于点D，则STPQ，连SO，作PBOE，垂直为点E，则E为AB中点，于是)1(.2PBPAPE因为C，E，O，D四点共圆，所以)2(POPDPEPC又SPDRt∽OPSRt)3(,2POPDPSPSOPPDSP即而由切割线定理知)20(11211,2)4(2分即PBPAPCPBPAPBPAPCPBPAPS圆切割线相似三角形15、已知关于x的方程011721122xxaxxa的实数根。（1）求a的取值范围。（2）若原方程的两个实数根为21,xx，且113112211xxxx，求a的值。解：（1）设原方程可化为则,1,1ttxx41,81511,911015,019,1,0101)72()1(222xxxxxxttaatata或或即或方程为时即当故当原方程有实数根时,1a当由原方程有实数根时则在时,,0,1a)10(28530)1(4)]72(2[22分解得aaa(2)由题设知，1,12211