高考数学长春第二次摸拟底考试

长春第二次摸拟底考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合21{|,},{|(1),}2xMyyxRNxyxxR，则集合M与N的关系为（）（A）M=N（B）MN（C）NM（D）MN（2）下列函数中既是在(0,)2上是增函数，又是以为周期的偶函数的是（）（A）|sincos|22xxy（B）cos2yx（C）|2|yctgx（D）|2|ytgx（3）（文）若a是直二面角，直线b且b与a不重合，则l平面的一个充分但不必要条件是（）（A）la，（B）lb且,//lab（C），//l（D）//lla且（理）复数32zi对应的向量按逆时针方向旋转120°后得到的向量对应的复数i，则复数z等于（）（A）12（B）12（C）1322i（D）132i（4）（文）同（理）第3题（理）已知双曲线的两条渐近线方程分别为210xy和20xy，则该双曲线离心率为（）（A）2（B）3（C）32（D）6（5）同（理）第4题（理）在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，若AD=BC，且AD与BC成60°角，则异面直线EF和BC所成角的大小为（）（A）30°（B）60°（C）30°或60°（D）90°（6）（文）同（理）第5题（理）函数23()log(2)fxxx的单调递增减区间为（）（A）(1,)（B）(,0)（C）(,1)（D）(2,)（7）（文）同（理）第6题（理）有六支足球队争夺一次比赛的前四名，并对前四名发给不同的奖品，A、B是六支球的两支，若A、B不都获奖，则不同的发奖方式共有（）（A）144种（B）216种（C）366种（D）360种（8）（文）同（理）第7题（理）极坐标系中，直线和直线sin()1的位置关系是（）（A）垂直（B）平行（C）相关但不垂直愿（D）相交（9）（文）设实数x，y满足22(2)(2)1xy，则yx的最小值为（）（A）23（B）23（C）3（D）3（理）若a是直二面角，直线,b平面且b与a不得合，则直线l平面的一个充分但不必要条件是（）（A）（A）la，（B）lb且,//lab（C），//l（D）//lla且（10）已知一等差数列的前四项的和为124，后四项的和为156，又各项的和为210，则此等差数列共有（）（A）8项（B）7项（C）6项（D）5项（11）已知sincos()R和是方程20()xpxqpQR、的两根，则动点（p，q）的轨迹图形是（）（12）商店某种贷物进价下降了8%，但销售价没有变，于是这种贷物的销售利润率由原来的r%增加（r+10）%，，则r的值等于（）（A）12（B）15（C）20（D）25第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上）（13）若函数21()21xxfx，则11()2f______________。（14）抛物线221Cyx向右平移12个单位得一曲线'C，再把'C绕其项点逆时针旋转90°，则所得曲线方程为______________________。（15）当x=3时，不等式2log(2)log(46)aaxxx（a为常数，01aa且）成立，则此不等式的解集是_________________________。（16）把底面半么为8圆锥放倒在平面内，使圆锥在此平面内绕顶点O滚动，当这圆锥在以虚线所示的圆O上绕O点滚动一周而回到原处时，圆锥本身滚动了两周半，则圆锥的母线长为___________________。三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应出文字说明、证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分12分）：1sincos[sin()sin()]21cossin[sin()sin()]21coscos[cos()cos()]21sinsin[cos()cos()]2已知复数1122,2(21)zizizizi。（Ⅰ）求2;z（Ⅱ）若△ABC的三个有A、B、C依次成等差数列，且2cos2cos2CuAi，求2||uz的取值范围。（18）（本小题满分12分）三棱锥P－ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D为PA的中点，二面角P―AC―B为120°，PC=2，23AB。（Ⅰ）求证：;ACBD（Ⅱ）求BD与底面ABC所成角的正弦值；（Ⅲ）求三棱锥P－ABC的体积。（19）（本小题满分12分）某公司年初有资金500万元，由于坚持改革、大胆创新，每年资金递增20%，但该公司不忘回报社会，每年年底资助希望工程40万元，若()mmN年后，该公司资金至少翻一番，求m的最小值。（参考数据：5671.22.491.22.991.23.58）（20）（本小题满分12分）设常数1b，若()nnabx是展开式中x的系数()nN，（Ⅰ）写出数列na的通项公式；（Ⅱ）设123…?nnnSaaaaS,求；（Ⅲ）当1b时，求limnnnSa的值。（21）（本小题满分12分）（文）若函数22()()nngxxnN，满足11()()34ff。（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）是否存在实数14，使函数()1()(21)xgxx在区间[1,2]上的值域17[4,]8，若存在，求出这个值，若不存在，说明理由。（理）设()fn是定义在自然数集N上的函数，满足(1)2f，且对任意nN都有()(1)(1)2fnffnn的成立。（Ⅰ）求()fn的表达式；（Ⅱ）若函数()22()()fnngxxnN，满足11()()34ff，问是否存在实数14使函数()1()(21)xgxx在区间[1,2]上的值域17[4,]8，若存在，求出这个值，若不存在，说明理由。（22）（本小题满发14分）如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODAB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）过D点的直线l与曲线C相交于不同的M、N，且M在D、N之间设DMDN，求λ的取值范围。（Ⅲ）（只理科做）过D的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，求△OMN面积的最大值。参考答案一、（1）D（2）A（3）文D，理B（4）文B，理A（5）文A，理C（6）文C，理D（7）文D，理B（8）B（9）文B，理D（10）C（11）C（12）B二、填空题：每小４分，共16分。（13）2log3（14）22xy（15）{|24}xx（16）20三、（17）解：（Ⅰ）21(2)122(2)2(21)(2)211+i=(3)-1+i-2i=(4)2iiiziiii分分分（Ⅱ）在△ABC中因为，A、B、C、依次成等差数列，21803180,60,120(6)BACBBBAC即分222cos2cos2C=cosA+i(2cos-1)A=cosA+2cosC(7)CuzAii分2222||coscos1+cos2A1+cos2C=221=1+(cos2cos2)2=1+cos(A+C)cos(A-C)=1+cos120cos(A-C)1=1-cos()(10)2uzACACAC分221120120,-cos()1,211515cos(),||,22424ACACACuz即225||(12)22uz分（18）解：（Ⅰ）取AC的中点，E，连结DE、BE，则DE∥PC。（1分）∵PC⊥AC，∴DE⊥AC。（2分）∵△ABC是正三角形，∴AC⊥平面DEB，而DB平面DEB，AC⊥DB。（4分）（Ⅱ）∵AC⊥平面DEB，AC平面ABC，∴平面DEB⊥底面ABC。（5分）∴EB是DB在底面ABC内射影。∴DE⊥AC，BE⊥AC，∴∠DBE是二面角P―AC―B的平面角，故∠DBE=120°（7分）在△DEB中，1331,233222DEPCBEAB。由余弦定理，得222222cos=13213cos120=13BD=13(8)BDDEBEDEBEDEB分由正弦定理，得113,,sinsinsinsin12039sin,26DEBDDBEKEBDBEDBE即即：BD与底面ABC的所成角的正弦值为3926。（9分）（Ⅲ）作DF⊥底面ABC于F，∵平面DEB⊥平面ABC，∴E在BE的延长线上。∴∠DBE=60°，由DE=1，得3sin1sin602DFDEDBE。（10分）∵D是PA的中点，∴P到平面ABC的距离为32232DF（11分）21132(23)33334pABCABCVSDF。（12分）（19）解：公司1年后有资金16500(120%)40500405a（万元）（2分）2年后有资金226(50040)(120%)40566=500()4040()(4)55a万元分……m年后有资金12mmm6666500()40()40()4040555561()65=500()40651()566=500()200()200556=300()200()(8)5mmmmmma万元分再由题意：6300()2005002(10)5m分68()53m。（11分）5m时568()2.49;m=653时668()2.4953。6m即m的最小值为6。（12分）（20）解：（Ⅰ）111,nrrnTCbx令r=1，得1112nnnaCbnb。过且过（4分）（Ⅱ）若b=1，则,12nnanSn(1)(5)2nn分若b1，则21123nnSbbnb22123(6)nnbSbbnb分作差1(1)1nnnbSbbnb1,(8)1nnbnbb分21(9)(1)1nnnbnbSbb分（Ⅲ）b1时limlim211lim2121[](10)(1)(1)1=[](1)(1)1bb=0-0-(12)1-bb-1nnnnnnnnnnSbnbabnbbnbbbbnbbnb分分（21）解：（文）（Ⅰ）11()()34ff222222114()()()1(2)343nnnnnn即分2220n20nnn即解得12,(4)n分又∵n为自然数，∴n=1。（5分）（Ⅱ）由n=1得2()(6)gxx分若存在实数14满题设，则222()1()(21)=1-x(21)2-141=-(x-)(7)24xgxxx分12111[1,1]422()x的最大值为22141()24241171,24188x得或又1=2(10)4x分此时(1)4,(2)1∴()x在[-1，2]上值域为17[4,]18。故满足条件的λ存在，且λ＝2。（12分）（理）（Ⅰ）由()(1)(1)2fnffnn。(1)2,f(n+1)-f(n)=2-2n(1)(2)(1)221f(3)-f(2)=2-22…?…?…?fff分()(1)22(1)(3)